Чудесное доказательство

[lasta]

ishhan в сообщении #1151665 писал(а):

Иначе нужно оговорить число различных способов представления куба числа $N_2$ при которых ВТФ верна или неверна и это момент у Вас пропущен.

Уважаемый ishhan!
Сравнение (2) и (3) не правомерно. Сначала необходимо в (3) сократить $N_4^3$ и сравнивать (2) и (4). Так как кубы в правой части (2) и (4) произвольные, выведены логическим путем, то между ними нет алгебраической связи.
Есть только связь между составными кубами в подобных тождествах соседних шагов. Произведение сомножителей составного куба равно одному из сомножителей составного куба предыдущего шага. И Вы это хорошо поняли. Таким образом, число сомножителей со спуском увеличивается.
Об этом я уже писал.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Не вижу оснований для того, чтобы разность $( N_5^3-t_5^3 )$ была бы кубом. Произвольность в выборе чисел уже была использована выше, здесь на неё ссылаться вряд ли правомерно для объяснения появления новой суммы кубов.

[lasta]

venco в сообщении #1151671 писал(а):

Напомню - вам, чтобы продолжить спуск, надо найти такое $t$, чтобы $(N_2^3-t^3)$ оказалось кубом. Вы этого так и не продемонстрировали.

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть кубом

Уважаемый venco !
Выражение в скобках правой части (2) это число. И мы утверждаем, если ВТФ неверна, то это число - куб. Зачем нам искать значение $t_2$, если мы сразу утверждаем, что число в скобках есть куб, а его алгебраическое выражение уже составлено как разность кубов?

-- 16.09.2016, 20:31 --

yk2ru в сообщении #1151678 писал(а):

Не вижу оснований для того, чтобы разность $( N_5^3-t_5^3 )$ была бы кубом. Произвольность в выборе чисел уже была использована выше, здесь на неё ссылаться вряд ли правомерно для объяснения появления новой суммы кубов.

А основания такие, что если ВТФ неверна, то есть правая часть тождества - сумма кубов, значит выражение в скобках -куб.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151679 писал(а):

А основания такие, что если ВТФ неверна, то есть правая часть тождества - сумма кубов, значит выражение в скобках -куб.

Сумма кубов должна существовать, если ВТФ неверна, но совсем не факт, что именно для этого числа из разности, а для каких то совсем других.

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151684 писал(а):

Сумма кубов должна существовать, если ВТФ неверна, но совсем не факт, что именно для этого числа из разности, а для каких то совсем других.

Мы рассматриваем сформулированное конкретное тождество, а не какое-то совсем другое. И для нашего тождества утверждения справедливы. Повторяю, выражение в скобках правой части тождества - число. И если ВТФ неверна, то это число -куб, а алгебраическое выражение для числа определено как разность кубов.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами.

Теперь стоп. Да, правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами, точнее,может, но это влечет спуск - а там дальше будет видно. Теперь Вам нужно доказать, что тогда, те когда правая часть (4) не представлена двумя кубами, $N_5$ -составное число.

Я прошу не писать 'и так далее' или 'аналогично', а разобрать подробно до конца случай,когда $N$ есть произведение ровно трех простых чисел.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151679 писал(а):

если ВТФ неверна, то есть правая часть тождества - сумма кубов

Не доказано, что если ВТФ неверна, то правая часть тождества - сумма кубов. Это всего лишь ваше хотение, чтобы она была суммой кубов.

[shwedka]

yk2ru в сообщении #1151694 писал(а):

lasta в сообщении #1151679 писал(а):

если ВТФ неверна, то есть правая часть тождества - сумма кубов

Не доказано, что если ВТФ неверна, то правая часть тождества - сумма кубов. Это всего лишь ваше хотение, чтобы она была суммой кубов.

Можно посочувствовать ТС, который(ая) одновременно защищает несколько , существенно различных и иногда несовместимых, версий. В наиболее продвинутом обсуждении (со мной) он(а) использует совершенно корректную формулировку отрицания ВТФ.

[venco]

lasta в сообщении #1151679 писал(а):

venco в сообщении #1151671 писал(а):

Напомню - вам, чтобы продолжить спуск, надо найти такое $t$, чтобы $(N_2^3-t^3)$ оказалось кубом. Вы этого так и не продемонстрировали.

lasta в сообщении #1151631 писал(а):

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.

Проблема в том, что $N_1$ не равно 1, поэтому полный перебор $t_2$ не покрывает все возможные кубы, а только те, что делятся на $N_1^3$.
Ещё раз: в вашем переборе основание первого куба всегда кратно $N_1$. И если $a$ не кратно $N_1$, то вы его не охватите.

[ananova]

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (a.2) $$

Пусть справедливо следующее:

$$ N_2^3 = t_2^3+ N_3^3,\qquad \e (a.3) $$

Пусть справедливо следующее:

$$ N_4^3N_5^3 = t_2^3+ N_3^3,\qquad \e (a.4) $$

Что равносильно:

$$\Longrightarrow N_4^3N_5^3 = t_2^3+ ( N_4^3N_5^3-t_2^3 ),\qquad \e (a.4) $$

Кроме того, этот же составной куб можно представить, согласно lasta:

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (a.5)$$

$$\Longrightarrow N_5^3 =t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (a.6)$$

Пусть $(N_5^3-t_5^3 )$ не является кубом. Введем обозначение - натуральное число $T$

$$\Longrightarrow N_5^3 =t_5^3+ T \qquad \e (a.6)$$

Подставляем $(a.6)$ в $(a.4)$ и получаем:

$$ N_4^3N_5^3 = t_2^3+ N_3^3,\qquad \e (a.4) $$

$$ N_2^3= t_2^3+ N_3^3,\qquad \e (a.3) $$

Т.е. Теорема "верна" на шаге $(a.6)$, но "не верна" на шаге $(a.3)$
Это противоречит доказательству lasta, т.к. из "верности" на шаге $(a.6)$ не следует "верность" на шаге $(a.3)$
Или я не понял доказательство. Как я его понимаю, что нужно доказать, что из "верности" на каком-то шаге, следует, что она "верна" везде.

(первоначальный текст подвергался корректировке)

[lasta]

shwedka в сообщении #1151692 писал(а):

Я прошу не писать 'и так далее' или 'аналогично', а разобрать подробно до конца случай,когда $N$ есть произведение ровно трех простых чисел.

Уважаемая shwedka!
Вопрос серьезный. Требуется время.

-- 16.09.2016, 22:05 --

venco в сообщении #1151701 писал(а):

Проблема в том, что $N_1$ не равно 1, поэтому полный перебор $t_2$ не покрывает все возможные кубы, а только те, что делятся на $N_1^3$

Уважаемый venco!
После сокращения делителя $C_1^3$ мы имеем тождество (2), представленное произвольными кубами $N_2^3,t_2^3$. Значит рассматриваются любые сочетания кубов.

[venco]

lasta в сообщении #1151706 писал(а):

venco в сообщении #1151701 писал(а):

Проблема в том, что $N_1$ не равно 1, поэтому полный перебор $t_2$ не покрывает все возможные кубы, а только те, что делятся на $N_1^3$

Уважаемый venco!
После сокращения делителя $C_1^3$ мы имеем тождество (2), представленное произвольными кубами $N_2^3,t_2^3$. Значит рассматриваются любые сочетания кубов.

Ладно, так не понимаете. Попробуем постепенно.
Давайте ещё раз: почему $N_2^3-t_2^3$ должно быть кубом, если ВТФ не верна?
Напомню, "ВТФ не верна" значит: существуют взаимно простые натуральные $(N,a,b)$ удовлетворяющие равенству $N^3=a^3+b^3$.
Как из этого следует, что $N_2^3-t_2^3$ является кубом?

[ishhan]

venco
Позвольте прокомментировать Ваш вопрос к ТС

venco в сообщении #1151711 писал(а):

Давайте ещё раз: почему $N_2^3-t_2^3$ должно быть кубом, если ВТФ не верна?

Нижеследующая запись это формулировка ВТФ3 (немного другая)

lasta в сообщении #1151625 писал(а):

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

с учётом того, что вместо третьего куба скобка $( N_2^3-t_2^3 )$.
P.S. Вопрос о делимости этой скобки на $N_4$ и вопрос уважаемой shwedka о появлении составного куба $N_5$ (в случае когда $(N_5^3-t_5^3)$ не куб)
затрагивают одно и то же. На мой взгляд, ответ на этот вопрос дать невозможно, так как $N_5^3=t_5^3+( N_5^3-t_5^3)$-тождество.

[yk2ru]

Если ВТФ неверна, то существует хотя бы одна тройка взаимно простых чисел $(A_0, B_0, C_0)$, которая является решением УФ. И возможно, что эта тройка чисел является единственной и других троек просто нет. Метод доказательства ТС должен работать и для такого случая неверности ВТФ. А у него по ходу доказательства возникают уже две тройки взаимно простых чисел, решений ВТФ, из предположения неверности ВТФ, значит что-то с методом доказательства не так.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151692 писал(а):

разобрать подробно до конца случай,когда $N$ есть произведение ровно трех простых чисел.

уважаемая shwedka!

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. То есть

$$ N_5^3-t_5^3=N_6^3 $$

Тогда

$$ N_5^3=N_6^3+ t_5^3$$

Следовательно $N_5^3$ составной куб, так как он раdняется сумме двух кубов. Запишем $N_5^3=N_6^3N_7^3$ . Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба $N_5^3$, меньшего предыдущего составного куба.
Однако, здесь возникает вопрос. $N_1 ,N_4,N_5$ могут быть простыми числами.
Тогда спуск снова останавливается. Так как тогда, если правая часть тождеств не является суммой двух кубов, не является противоречием. Так как для куба простого числа и не требуется, чтобы он был представим суммой двух кубов.
В этом случае рассмотрим одну из возможных сумм сомножителей составного куба. Пусть это будет $N_4^3+N^3_5,$
Утверждаем, что эта сумма не может быть кубом, так как тогда этот куб будет кубом составного числа. То есть

$$N_4^3+N_5^3=N_{14}^3N_{15}^3\qquad \e (5)$$

Каждый из кубов левой части (5) больше 1.Тогда каждый из кубов правой части (5) меньше наибольшего куба левой части (5). Появляется новый составной куб с сомножителями меньшим чем у предыдущего составного куба. Таким образом спуск восстанавливается.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (7) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих составных кубов, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (6).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.