Угловое расстояние на окружности

[denny]

Очень наивный вопрос, но никак не могу сфокусироваться.

Рассматриваю одну модельную задачку - взаимодействие точек, движущихся по окружности.
Положения точек задаются, конечно, углами $0\leqslant\varphi_i\leqslant2\pi$

Само взаимодействие напоминает инфляционную модель вселенной: промежутки между точками стремятся расшириться пропорционально своему размеру. Должна получиться система несложных дифуров типа:

$$\dot{\varphi_1}=k \cdot ((\varphi_1-\varphi_3)-(\varphi_2-\varphi_1))$$

и т.д.

Да не тут то было! Ведь угловое расстояние между точками в общем случае не равно $\varphi_i - \varphi_j$!
Если они лежат в разных полуплоскостях, то оно равно $2\pi+\varphi_i - \varphi_j$

Из простейшей линейной системы грозит получится что-то кусочно-сшиваемое, что совсем не радует.
Может, я просто не замечаю элементарную вещь, и существует способ просто выразить угловое расстояние между точками через их положения?

[arseniiv]

Можно манипулировать косинусами и синусами этих углов (и связи на них наложить), косинус и синус суммы таких вещей не содержат. С другой стороны, так ли много трудностей породит ${}\bmod 2\pi$? Всё равно потом модуль брать, и в итоге получится непрерывная зависимость углового расстояния от $\varphi_i-\varphi_j$ (треугольная пила).

[amon]

Гляньте М. Годен, Волновая функция Бете, М., Мир , 1987. Сам анзац Бете Вам ни к чему, но один из вариантов как можно поступать с периодическими функциями многих переменных там разобран в подробностях.

[denny]

Да, придется модуль брать.
А можно в символьном виде решать уравнения, где в правой части ${}\bmod 2\pi$?

Вообще я все это предполагаю в Mathematica запихнуть, тем более там еще будут усложнения - рождение новых точек и т.п.

Но простейшую систему из 3 точек хотелось бы в символьном виде рассмотреть!

[arseniiv]

Если совет amon не лучше (я ту штуку не читал), возможно, будет лучше не рассматривать ${}\bmod 2\pi$ и взятие модуля отдельно, а сразу рассматривать непрерывную функцию, назовём её $\operatorname{tri}x = \lvert x\bmod 2\pi \rvert$, и смотреть именно на её свойства. Если только у Mathematica рука не набита для манипуляций с остатками и модулями больше, чем для TriangleWave. Для выкладок вручную не знаю что удобнее.

[DeBill]

denny
Что-то не то с Вашей задачей..
Может, это таки силы, действующие на точки, а не скорости? Если нет -интуиция физическая нам не поможет.
А проблема еще вот в чем: что происходит при столкновении точек? Если они спокойно проходят друг сквозь друга (и тогда соседство - изменяется), то система вааще плохая будет: разрывы правой части появятся (точка ползла налево; и вдруг она заменилась на другую - ползущую направо: разрыв скорости)

[denny]

Если по самой системе, то предположения были такие:
- За время $dt$ любой интервал между точками длиной $L$ расширяется на $k\cdot L \cdot dt$ (имитация инфляции)
- Если точки соприкасаются (или "проскакивают за", что актуально при численном решении),
одна из них уничтожается

Самое интересное третье предположение:
- если длина интервала становится больше некоторой критической $L^{*}$,
внутри него возникает новая точка (в случайном месте, кроме концов)

Я уже делал предварительные прогоны, получается интересно.
Но хотелось бы начать с того, что можно строго рассмотреть.
Боюсь, что в символьном виде точно ничего не получится.
В книге много интересного о замкнутых цепочках Изинга, пытаюсь понять...

[svv]

denny
Правильно ли я понял, что на скорость данной точки влияет лишь её положение относительно ближайших соседей? Например, пусть $a, b$, а также $b, c$ — соседи, и $\varphi_a<\varphi_b<\varphi_c$. Тогда
$\dot{\varphi_b}=(\varphi_b-\varphi_a)-(\varphi_c-\varphi_b)$
Т.е. если будет больше дистанция между $a$ и $b$, точка $b$ будет двигаться вперёд.
А если будет больше дистанция между $b$ и $c$, точка $b$ будет двигаться назад.

[Munin]

У меня дурацкая мысль. Заведите фиктивную $n+1$-ю точку и наложите связь $\varphi_{n+1}=\varphi_1+2\pi.$

[Dmitriy40]

У меня была такая же мысль, разрезать окружность по одному из тел, развернуть в отрезок, посадить две одинаковые копии этого тела на концы отрезка и превратить задачу в линейную с граничными условиями. Вот только это сработает лишь если взаимодействия тел строго между соседними, если же тела чувствуют не только ближайшего соседа, то задача уже не проще исходной. А такого ограничения (взаимодействие лишь с ближайшими соседями) вроде бы ТС не ставил ...

[svv]

Можно ввести такой закон взаимодействия: на $i$-ю точку $j$-я точка влияет пропорционально синусу угла (с учётом знака) между ними. Это обеспечивает всё, что нужно: гладкость, однозначность. При малых углах это близко к тому, что сейчас.

К тому же, это геометрично. Синус угла — это проекция разности радиус-векторов обеих точек на касательную к окружности в $i$-й точке (ведь в нормальном направлении двигаться точки не могут).

Для arseniiv: вклад $j$-й точки в $\dot \varphi_i$ пропорционален псевдоскалярному произведению: $\mathbf r_j\wedge\mathbf r_i$. Итоговая формула:
$\dot \varphi_i=k\sum\limits_{j\neq i}\mathbf r_j\wedge\mathbf r_i\;,$
где $k>0$. Условие $j\neq i$ при суммировании можно выбросить.
Через скалярное произведение:
$\dot{\mathbf r}_i=k\sum\limits_j(\mathbf r_i(\mathbf r_i, \mathbf r_j)-\mathbf r_j)$

[arseniiv]

А я боюсь, что автору синус не понравится, потому что он зануляется на $\pi$, а такой промежуток должен расталкиваться по замыслу сильнее всего. Может, синус половины угла?

[manul91]

denny в сообщении #1151659 писал(а):

промежутки между точками стремятся расшириться пропорционально своему размеру.

Дело в том, что поскольку окружность закольцована - то между любых двух точек $i,j$ существуют "два угловых промежутка": $\varphi_i-\varphi_j$ и $2\pi+\varphi_i-\varphi_j$ (да и вообще их "бесконечно много": $2k\pi+\varphi_i-\varphi_j$ для любом целом $k$).
Вам надо решить как управиться с этим (неформально-интуитивно мне кажется что без изменения радиуса, согласованно все наладить как хочется - не получится).

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1151757 писал(а):

Вот только это сработает лишь если взаимодействия тел строго между соседними

Выписанное

denny в сообщении #1151659 писал(а):

$$\dot{\varphi_1}=k \cdot ((\varphi_1-\varphi_3)-(\varphi_2-\varphi_1))$$

как бы прямо намекает...

Впрочем, если точки будут перескакивать одна через другую, тут тоже надо повозиться.

[svv]

arseniiv в сообщении #1151782 писал(а):

А я боюсь, что автору синус не понравится, потому что он зануляется на $\pi$, а такой промежуток должен расталкиваться по замыслу сильнее всего. Может, синус половины угла?

Выберем точку. Другая точка, отстоящая от выбранной на $\pm\pi$, из соображений симметрии не должна толкать выбранную в определённую сторону: чем clockwise лучше counter- ? Из соображений гладкости точки, отстоящие от выбранной примерно на $\pm\pi$, должны толкать её слабо.