Чудесное доказательство

[shwedka]

lasta в сообщении #1151524 писал(а):

Уважаемая shwedka!
Прошу прощения.
Это было уже отредактировано. Я не успел просто отредактировать до Вашего просмотра. Но, так как вопрос очень важный, сделаем дополнительные разъяснения.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей??? $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1).

СТОП! И напишите, что получится в результате сокращения $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1).

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151576 писал(а):

Что доказывается, как? Для двух вариантов сокращения правая часть как может быть суммой двух кубов, так и не может, для случая ТФ неверна.

Уважаемый yk2ru, вот видите, как может заклинить утверждение "предположим, что существует не существующее"
Еще раз. Сокращение произвольного сомножителя определяет доказательство для всех случаев. Пусть их будет хоть сколько. Для всех случаев доказывается, что ВТФ верна. То есть, "существует не существующее", тоже не обходится стороной.

[shwedka]

И проследите, как Ваш процесс пойдет, если $N$ состоит ровно из трех простых множителей, $N_1,N_4,N_5$.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Ваш подход решению уравнения Ферма заключается в подмене уравнения Ферма тождеством по следующей схеме:
Записываем уравнение Ферма:

$$z^3=x^3+y^3$$

теперь выражаем x через z и y и снова подставляем в исходное уравнение:

$$z^3=y^3+(z^3-y^3)$$

Теперь уже нет уравнения, потому что уравнение укусило себя за хвост и стало тождеством)))
Это по-вашему тождество (2)
Далее следует вывод тождества (3)
В привычном виде оно выглядит как:

$$z^3=k^3z_1^3=k^3y_1^3+(k^3z_1^3-k^3y_1^3)$$

Далее Вы сокращаете всё на $k^3$ и утверждаете, с той же настойчивостью, что и в теме "бесконечного спуска", что существует новая тройка Ферма $x_1,y_1,z_1$ , основываясь при этом на туманном логическом выводе о сохранении свойств тождества.
Предполагаю, что это логическая ошибка по Аристотелю petitio principii, последнее слово конечно будет за экспертами в лице shwedka
Цитирую источник:
"Ложное доказательство, получившее впоследствии название «предвосхищение основания» (petitio principii), состоит в том, что то, что требуется доказать, принимается как уже доказанное. Другими словами, здесь доказываемая мысль выводится сама из себя: за основание доказательства принимается то, что нужно доказать, или то, что само основывается на том, что нужно доказать."

http://vikent.ru/enc/1635/

[lasta]

shwedka в сообщении #1151578 писал(а):

СТОП! И напишите, что получится в результате сокращения $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1).

Уважаемая shwedka!
Предлагаю дополненный вариант.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_4^3N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. и также как ранее доказывается существования третьего составного куба, меньшего предыдущего. Таким образом, спуск восстановлен и можем перейти к к следующему шагу на основании существования третьего составного куба
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[venco]

lasta в сообщении #1151501 писал(а):

Если ВТФ не верна, то есть существует решение в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

Нет.
Если ВТФ не верна, то существуют натуральные $(N,a,b)$, такие что $N^3=a^3+b^3$.
Чтобы из $a$ и $b$ получились ваши $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$, надо ещё, чтобы $a$ и $b$ делились на $N_1$. Если не делятся, то ваше рассуждение неприменимо.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151580 писал(а):

вот видите, как может заклинить утверждение "предположим, что существует не существующее"

Для вас уже изначально не существует решения УФ, к чему доказательство тогда?

[lasta]

venco в сообщении #1151594 писал(а):

сли ВТФ не верна, то существуют натуральные $(N,a,b)$, такие что $N^3=a^3+b^3$.
Чтобы из $a$ и $b$ получились ваши $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$, надо ещё, чтобы $a$ и $b$ делились на $N_1$. Если не делятся, то ваше рассуждение неприменимо.

Уважаемый venco!
Доказательство строится на невозможности представления произвольного составного куба суммой двух кубов. И Вы правильно заметили, что $a^3=N_1^3t^3_2$ и $b^3=N_1^3(N_2^3-t_2^3^3)$ должны делиться на $N_1^3$. Это показано на тождестве (1).

[shwedka]

Цитата:

дополненный вариант.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). Тождество (1) примет

$$N_1^3N_4^3N_5^3 =N_1^3N_4^3 t_5^3+ N_1^3N_4^3( N_5^3-t_5^3)$$

А после сокращения сомножителей $N_1^3N_4^3$ получим

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 ) $$

То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами. Так как тогда $( N_5^3-t_5^3 )$ должен быть кубом. и также как ранее мы доказывается существования третьего составного куба, меньшего предыдущего.

А теперь Вы сделайте следующий шаг. При том,

Цитата:

что что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами.

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151597 писал(а):

Для вас уже изначально не существует решения УФ, к чему доказательство тогда?

Я всегда утверждал обратное, что в доказательстве рассматриваются оба случая

[shwedka]

shwedka в сообщении #1151600 писал(а):

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.

исправьте опечатку в формуле

[lasta]

shwedka в сообщении #1151600 писал(а):

А теперь Вы сделайте следующий шаг

Уважаемая shwedka!
Дополнения и исправления внесены правкой текста.

[venco]

lasta в сообщении #1151599 писал(а):

venco в сообщении #1151594 писал(а):

сли ВТФ не верна, то существуют натуральные $(N,a,b)$, такие что $N^3=a^3+b^3$.
Чтобы из $a$ и $b$ получились ваши $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$, надо ещё, чтобы $a$ и $b$ делились на $N_1$. Если не делятся, то ваше рассуждение неприменимо.

Уважаемый venco!
Доказательство строится на невозможности представления произвольного составного куба суммой двух кубов. И Вы правильно заметили, что $a^3=N_1^3t^3_2$ и $b^3=N_1^3(N_2^3-t_2^3^3)$ должны делиться на $N_1^3$. Это показано на тождестве (1).

Значит всё, что вы доказали, это если $a$ и $b$ вместе с $N$ имеют общий делитель $N_1$, то можно сделать шаг спуска, поделив их все на этот общий делитель. Это тривиальный случай, не заслуживающий такого длинного обсуждения.
Итак, вы получили спуск до взаимно простых кубов, к которым ваше рассуждение дальше не применимо.
Бесконечного спуска нет.

[lasta]

venco в сообщении #1151606 писал(а):

Бесконечного спуска нет

Уважаемый venco!
Бесконечный спуск существует, так как на каждом шаге появляется новый составной куб, меньший предыдущего. и доказательство строится как раз на таком тривиальном случае.

[venco]

Кубы то составные, но общего делителя у них может и не быть.