Чудесное доказательство

[yk2ru]

Для составного квадрата $20^2=4^2 5^2$
составим тождество

$$4^2 5^2 =4^2 3^2+ 4^2( 5^2-3^2), \qquad \e (1) $$

Сократим общий делитель $4^2$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ 5^2 = 3^2+ ( 5^2-3^2 ),\qquad \e (2) $$

Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух квадратов $(3^2; \quad (5^2-3^2))$.

Для составного квадрата $20^2=5^2 4^2$
составим тождество

$$5^2 4^2 =5^2 3^2+ 5^2( 4^2-3^2), \qquad \e (1) $$

Сократим общий делитель $5^2$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ 4^2 = 3^2+ ( 4^2-3^2 ),\qquad \e (2) $$

Если теорема не верна, то правая часть (2) может быть представлена суммой двух квадратов $(3^2; \quad (4^2-3^2))$.

Вопрос: каким образом при составлении $\qquad \e (1)$ определяете, какой из сомножителей составного начального числа следует оставлять за скобками для сокращения? В одном случае получается сумма квадратов, а в другом случае нет.

[venco]

lasta в сообщении #1151463 писал(а):

Если теорема не верна, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

А можно пояснить это место?
Какая теорема?
Почему из этого следует, что правая часть может быть представлена суммой двух кубов?

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151480 писал(а):

В одном случае получается сумма квадратов, а в другом случае нет.

$\forall a^2,\quad \exists a^2=c^2-b^2, \not \Rightarrow a^2=z^2-y^2.$ Для кубов. Если $\exists c^3=a^3+b^3, \quad\not \Rightarrow c^3=x^3+y^3.$
Поэтому для доказательства общего случая для кубов рассматривается произвольное сокращение сомножителей.

-- 16.09.2016, 07:54 --

venco в сообщении #1151492 писал(а):

Какая теорема?
Почему из этого следует, что правая часть может быть представлена суммой двух кубов?

Уважаемый venco!
Уточняю. Если ВТФ не верна, то есть существует решение в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$.

-- 16.09.2016, 08:24 --

shwedka в сообщении #1151467 писал(а):

Теперь нужно исправить замечания и только потом идти дальше.

Уважаемая shwedka!
Вчера по техническим причинам не смог исправить доказательство по Вашим замечаниям. Поэтому представляю его сегодня.


Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Но новый составной куб уже определен, Что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми. И они уже влияют на начальный этап спуска.
Все дело в том, что новый составной куб является сомножителем исходного составного куба. То есть мы получили на первом этапе, что исходный составной куб состоит из трех сомножителей. Действительно, подставим значение $N_2^3=N_4^3N_5^3$ в исходный составной куб. $N^3=N_1^3N^3_2=N_1^3N^3_4N_5^3$. Тогда, можно сократить два сомножителя $(N_1^3,N^3_4)$ в исходном тождестве и сразу утверждать, что правая часть не может быть представлена двумя кубами.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. И исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1151501 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного??????? куба
$N_5^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть нового тождества не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен. Но новый составной куб уже определен, Что доказано ранее, значит числа $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми.

Стоп. Я не вижу доказательства, что $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми, когда правая часть нового тождества (4) не представляет суммы двух кубов.

[lasta]

shwedka в сообщении #1151504 писал(а):

Стоп. Я не вижу доказательства, что $N_4^3, N_5^3$ не являются простыми, когда правая часть нового тождества (4) не представляет суммы двух кубов.

Уважаемая shwedka!
Здесь спуск остановлен. Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым было показано, что исходный куб $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и было показано, что спуск существует,благодаря сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$

[ananova]

lasta
Может я что-то пропустил, поэтому задаю вопрос - случай $N_2-1=t_2$ "не мешает" Вашему методу? Т.е. Вариант, когда разница $N_2^3-t_2^3$, возможно, является кубом простого числа.

[shwedka]

Не годится. Опять фрагменты.

lasta в сообщении #1151505 писал(а):

Но доказательство, что существуют СОСТАВНЫЕ????? кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2),

уберите заявление, что $N_4^3, N_5^3$ составные, либо докажите это.
И представьте скорректированный текст.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151501 писал(а):

$\forall a^2,\quad \exists a^2=c^2-b^2, \not \Rightarrow a^2=z^2-y^2.$ Для кубов. Если $\exists c^3=a^3+b^3, \quad\not \Rightarrow c^3=x^3+y^3.$
Поэтому для доказательства общего случая для кубов рассматривается произвольное сокращение сомножителей.

Пусть ТФ неверна и $C^3 = A^3 + B^3$, тогда для $5^3 C^3$
сокращение на один сомножитель даст сумму кубов, а вот сокращение на другой сомножитель не даст суммы кубов.

[lasta]

-- 16.09.2016, 11:52 --

yk2ru в сообщении #1151510 писал(а):

Пусть ТФ неверна и $C^3 = A^3 + B^3$, тогда для $5^3 C^3$
сокращение на один сомножитель даст сумму кубов, а вот сокращение на другой сомножитель не даст суммы кубов.

Мы делаем вывод по произвольному сокращению сомножителя, то есть отвечаем на оба случая. И в обоих случаях опровергаем возможное существование решений.

ananova в сообщении #1151507 писал(а):

задаю вопрос - случай $N_2-1=t_2$ "не мешает" Вашему методу?

не мешает, так как мы рассматриваем только сумму кубов натуральных чисел..

lasta в сообщении #1151505 писал(а):

Здесь спуск остановлен. Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым было показано, что исходный куб $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и было показано, что спуск существует,благодаря сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$

shwedka в сообщении #1151509 писал(а):

уберите заявление, что $N_4^3, N_5^3$ составные, либо докажите это.
И представьте скорректированный текст.

Уважаемая shwedka!
Прошу прощения.
Это было уже отредактировано. Я не успел просто отредактировать до Вашего просмотра. Но, так как вопрос очень важный, сделаем дополнительные разъяснения.
Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов $(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но если правая часть (2),- сумма двух кубов, то разность кубов $(N_2^3-t_2^3) $ - куб (обозначим его как $N_3^3$) .
Тогда $N_2^3-t_2^3=N_3^3$, или $N_2^3=t_2^3+N_3^3$
и $N_2^3$ -составной куб , так как он равнялся бы сумме двух кубов. Запишем $N_2^3=N_4^3N^3_5$.
Значит, выполнено тождество

$$N_4^3N_5^3 =N_4^3 t_5^3+ N_4^3( N_5^3-t_5^3 ) \qquad \e (3),$$

где $(1<t_5^3<N_5^3)$.
Сократив $N_4^3$ , получим новое тождество в взаимно простых числах

$$ N_5^3 = t_5^3+ ( N_5^3-t_5^3 )\qquad \e (4) $$

Итак, на первом шаге спуска доказано появление меньшего составного куба
$N_2^3< N_1^3N_2^3$ и пары новых тождеств.
Здесь естественно возникает вопрос. Пусть правая часть тождества (4) не представляет суммы двух кубов. Спуск остановлен.
Но доказательство, что существуют кубы $N_4^3, N_5^3$ сделано ранее на основании (2), то есть было показано, что существует $N_2^3=N_4^3N_5^3$. Этого достаточно, чтобы в этом случае (спуск остановлен) вернуться к исходному тождеству (1) с составным кубом $N_2^3$. Тем самым исходный куб будет состоять из трех сомножителей $N^3=N_1^3N_4^3N_5^3,$ и спуск существует,благодаря возможному сокращению двух сомножителей $N_1^3N_4^3$ уже в исходном тождестве (1). То есть тождество (4) становится тождеством первого шага и теперь мы можем утверждать, что правая часть (4) не может быть представлена двумя кубами.
На каждом последующем шаге будет увеличиваться число сомножителей исходного составного куба.
Докажем в общем случае, что составной куб появлялся бы на всех шагах спуска.
Пусть на произвольном шаге спуска сформулировано тождество с взаимно простыми числами

$$N_j^3=t_j^3+(N_j^3-t_j^3)$$

Если выражение $(N_j^3-t_j^3)$ равнялось бы кубу, (обозначим его как $N_{j+1}^3$), то существовало бы равенство.

$$N_j^3=t_j^3+N_{j+1}^3.$$

Тогда куб $N_j^3$ был бы составным, так как он равнялся бы сумме кубов.
Запишем $N_j^3=N_{j+2}^3N_{j+3}^3$
Следовательно, на произвольном шаге всегда появлялся бы составной куб и выполнялись бы два тождества для следующего шага: первое, - со слагаемыми с общим делителем

$$N_{j+2}^3N_{j+3}^3=N_{j+2}^3t^3+N_{j+2}^3(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (5) $$

и после сокращения $N_{j+2}^3$, -второе тождество, - с взаимно простыми числами

$$N_{j+3}^3=t^3+(N_{j+3}^3-t^3) \qquad \e (6) $$

Следовательно, делаем вывод, что если составной куб появлялся бы на первом и произвольном шагах, то он появлялся бы на всех шагах спуска. Сразу отметим, что доказательство о том, что на произвольном шаге появлялся бы составной куб выведено логическим путем.
Составной куб образован из произвольных сомножителей $ (N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$. И на эти сомножители существует одно ограничение, что их произведение равно $ N_j^3$.
Этим мы охватываем все возможные варианты значений степеней на произвольном шаге
Произвольность кубов $(N_{j+2}^3, \quad N_{j+3}^3)$ в новых тождествах показывает, что существует только единственная связь с кубами предыдущих тождеств - это их соотношения по величине. Новые составные кубы меньше предыдущих, потому что получение нового тождества всегда связано с сокращением общего делителя в (5).
Отсутствие алгебраических преобразований между слагаемыми соседних по спуску тождеств - это одно из условий бесконечного спуска. Иначе, спуск был бы конечным.
На произвольном шаге также бы существовало утверждение, что правая часть тождества (6) не может быть суммой кубов, так как тогда можно было бы сформулировать следующее тождество со всеми свойствами предыдущего.
Таким образом, получилось бы бесконечное количество кубов, меньших исходного, ни один из которых не был бы представим суммой двух кубов. А исходный составной куб состоял бы из бесконечного числа сомножителей.
Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

[ananova]

lasta в сообщении #1151524 писал(а):

.
ananova в сообщении #1151507

писал(а):
задаю вопрос - случай $N_2-1=t_2$ "не мешает" Вашему методу?
не мешает, так как мы рассматриваем только сумму кубов натуральных чисел..

"Не мешает?" - это не очень отражено в Вашем доказательстве.
По моему, надо дополнительно рассмотреть случай $(2.1) $

lasta в сообщении #1151524 писал(а):

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

$$N_2^3 = (N_2-1)^3+ ( N_2^3-(N_2-1)^3 ) \eqno (2.1)$$

Или рассейте мои сомнения - откуда появляется $N_4^3N_5^3$, если $N_2$ - простое число.
Уделите этому моменту в доказательстве отдельное внимание и вопросов будет меньше. Вам проще.

[lasta]

ananova в сообщении #1151539 писал(а):

откуда появляется $N_4^3N_5^3$, если $N_2$ - простое число.

Уважаемый ananova!
Спасибо, что продолжаете уделять внимание этой теме.
Сначала мы утверждаем, что правая часть (2). Не может быть суммой двух кубов. Так как в противном случае выражение в скобках $(N_2^3-t_2^3)$ становилось бы кубом. То есть

$$(N_2^3-t_2^3)=N_3^3$$

это все равно, что

$$N_2^3=N_3^3+t_2^3$$

Отсюда и следует, что $N_2^3$ составной куб, так как равен сумме кубов.
Мы используем сумму кубов натуральных чисел, а не разность, потому, что только сумма кубов всегда сохраняет свойство составного числа, в отличие от разности кубов, где для соседних кубов это свойство не всегда существует.
А для бесконечного спуска - на любом шаге должно быть обязательное сохранение свойств тождеств предыдущего шага.

[ananova]

Благодарю.
Тогда попробую для себя сформулировать Ваше доказательство. А Вы подскажите - насколько я удачно это сделал.

Если текущая сумма кубов равна кубу, то все вышестоящие решения, должны иметь решения? (А нижеследующие - неизвестно)
Я бы назвал такой метод метод подъема, хотя в деталях, возможно, это не совсем точно.

И не знаю, насколько верно Вы это доказали, но удачи Вам! Буду следить! Не исключено, что Вы доказали, что не существует бесконечно много решений ВТФ. Это тоже сильное утверждение.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151524 писал(а):

Мы делаем вывод по произвольному сокращению сомножителя, то есть отвечаем на оба случая. И в обоих случаях опровергаем возможное существование решений.

И как опровергните для случая, если например теорема неверна, но существует всего лишь единственная тройка взаимно простых чисел, которая является решением УФ для показателя $3$?
Сократите на сомножитель, содержащий число из этой тройки (оставляя сомножитель, не содержащий это число), и какие же дальше сделаете выводы?

[lasta]

yk2ru в сообщении #1151561 писал(а):

Сократите на сомножитель, содержащий число из этой тройки (оставляя сомножитель, не содержащий это число), и какие же дальше сделаете выводы?

На исходные числа $N_1,N_2$ нет каких-либо ограничений. Они произвольные. Поэтому сокращение произвольного куба $N_1^3$ определяет сокращение любого натурального числа. Потому как, понятие произвольное число - это любое возможное. Поэтому под утверждением , что правая часть (2) не может быть суммой двух кубов распространяется на все возможные случаи. И это доказывается.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1151572 писал(а):

Поэтому под утверждением , что правая часть (2) не может быть суммой двух кубов распространяется на все возможные случаи. И это доказывается.

Что доказывается, как? Для двух вариантов сокращения правая часть как может быть суммой двух кубов, так и не может, для случая ТФ неверна.