Оценка функции

[stedent076]

Добрый день! Есть ли какой-нибудь способ (кроме графического) показать, что:
$x^4-4x^2+x+7>0$ $\forall x\in\mathbb{R}$

[Aritaborian]

Графический способ это вообще не способ, в принципе. В том смысле, что он нагляден, но не доказателен. Поэтому: да, есть, ещё бы.

[gris]

Было даже сегодня: можно представить левую часть в виде суммы квадратов многочленов. И положительного числа, чтобы попроще

[Sinoid]

Если я не ошибаюсь, надо расписать коэффициент при квадрате.

[stedent076]

gris
Сумма квадратов 2-х многочленов. Приходит в голову только выделение полного квадрата:
$x^4-4x^2+x+7=(x^2-2)^2-2^2+7$
$(x^2-2)^2$ – первый многочлен.Остаток $x+3$ не очень радует.
Можно ли привести его к квадрату некоторого полинома? Или (что вероятнее) начинать надо с другого?

[gris]

Не стоит усложнять. В общем случае, задача сложна, конечно, но в данном подбор весьма очевиден. Всё-таки в учебных задачах составители тоже человеки. Попробуйте представить $4x^2=5x^2+...$. Ну да, к сумме двух квадратов добавится ещё и третий. Не беда.

[Sinoid]

gris в сообщении #1150638 писал(а):

Попробуйте представить $4x^2=5x^2+...$.

А я за шо?

gris в сообщении #1150638 писал(а):

Ну да, к сумме двух квадратов добавится ещё и третий. Не беда.

В данном случае наоборот лучше.

[stedent076]

gris
Я сделал так:
$x^4-4x^2+x+7=x^4-9x^2+(5x^2+x+7)$
$(5x^2+x+7)$– положительно для любых икс.
$x^4-9x^2=(x^2-\dfrac{9}{2})^2-\dfrac{9}{2}$
$(x^2-\dfrac{9}{2})^2+5x^2+x+\dfrac{3}{2}$– очевидно, положительно

[gris]

У нас с Sinoid получилось, вроде бы,
$(x^2-2.5)^2+...$

У Вас немножко не совсем верно. $(9/2)^2$ слишком большое число.

Решение, конечно, методически ущербно, ибо основано на совпадении коэффициентов. Хотя иногда и такие задачи полезны, так как показывают, что можно и по-простому обойтись. С производной тут дела плохи. А можно было бы придумать задачку, где минимум легко находится.

[stedent076]

gris
да, действительно. Спасибо!