Теорема Мюллера

[svv]

Хотел бы ещё заметить, что к вопросу имеет отношение теорема Мюллера о реализуемости заданной диаграммы направленности. Точной формулировки у меня сейчас под рукой нет, но, по-моему, там такие требования: поле на сфере должно иметь аналитическое продолжение на $\mathbb R^3$, удовлетворяющее, кажется, уравнению Лапласа (ясно, что это уже не будет «электрическое поле»), причем это должна быть целая функция экспоненциального типа.
Лучше, конечно, найти формулировку, считайте, что я просто дал наводку.

[realeugene]

svv в сообщении #1150582 писал(а):

Хотел бы ещё заметить, что к вопросу имеет отношение теорема Мюллера о реализуемости заданной диаграммы направленности.

И в пределе бесконечного размера антенны тоже?

[svv]

Нет, в теореме речь шла об излучателях, которые целиком лежат внутри шара/сферы некоторого радиуса, а тип той целой функции не должен превышать радиус предполагаемого излучателя (про который ещё неизвестно, существует он или нет).

То есть скорость роста той функции на бесконечности говорит о том, насколько компактным можно сделать излучатель.

Но, пожалуйста, за подробностями — к первоисточнику. К сожалению, у меня нет и ссылки.

[realeugene]

svv в сообщении #1150585 писал(а):

Нет, в теореме речь шла об излучателях, которые целиком лежат внутри шара/сферы некоторого радиуса, а тип той целой функции не должен превышать радиус.

То есть, это "практическая теорема"?

Дело в том, что если мы можем разложить некоторое желаемое поле на бесконечности по сферическим функциям произвольного порядка, мы, также, тут же знаем, какие моды должна генерировать сколь угодно малая антенна, чтобы получить такое поле в асимптотике. Никакой теоретической строгой границы, вот эти гармонические волны малая антенна может генерировать, а вот эти - уже нет, не существует. Сложность возбуждения таких мод в некотором смысле начинает расти экспоненциально, но экспонента конечна при любом аргументе

[realeugene]

Наверное, подразумевается теорема Миллера.
Гугл, по крайней мере, знает именно такое название.

[amon]

realeugene в сообщении #1150808 писал(а):

Наверное, подразумевается теорема Миллера.

Вот это, как я понял, подразумевается:
Müller C. Radiation Patterns and Radiation Fields J. Rat. Mech. Anal. 1955. V. 4. P. 235–246.

[realeugene]

Спасибо. И точно, Мюллер.
Статья с таким же названием была опубликована в 1954 году как университетский отчёт о работе и доступна, например, тут: https://ia902700.us.archive.org/18/item ... ull_bw.pdf
Автор явно оговаривает, что любые непрерывно дифференцируемые диаграммы направленности могут быть сколь угодно точно приближены бесконечным рядом из сферических убегающих волн с источником в нуле. И вопрос в его статье чисто математический: о том, какой именно класс функций можно представить точно.
И обсуждаются скалярные волны.

[svv]

Спасибо, что нашли ссылку. Я её ещё почти не смотрел, но всё-таки опишу свои представления. Не исключено, что я имею в виду какую-то другую теорему (например, позднейшую доработку).

То, что у Мюллера рассматривается скалярный случай, непринципиально. Каждая декартова компонента электрического поля удовлетворяет скалярному уравнению Гельмгольца вне области источников и условию излучения.

realeugene в сообщении #1150827 писал(а):

Автор явно оговаривает, что любые непрерывно дифференцируемые диаграммы направленности могут быть сколь угодно точно приближены бесконечным рядом из сферических убегающих волн с источником в нуле. И вопрос в его статье чисто математический: о том, какой именно класс функций можно представить точно.

Я, похоже, иначе понимаю смысл этой теоремы. Мы можем заданную ДН разложить по сферическим гармоникам, к каждой приписать нужную сферическую функцию Ханкеля $h^{(1)}_n(kr)$ (их Мюллер как-то ужасно обозначает) и получить соответствующий ряд для поля. Этот ряд будет сходиться вне некоторого шара $r>a$ (за исключением случая одного точечного излучателя в начале координат), а при $r<a$ будет расходиться. Если ряд расходится при данном $r$, значит, соответствующую ДН невозможно реализовать с помощью системы излучателей, целиком находящейся внутри шара такого радиуса с центром в начале координат.

Практически более интересен вопрос: каков минимальный радиус шара, покрывающего источник и расположенного где бы то ни было? Теорема же отвечает на вопрос о минимальном радиусе шара с центром в начале, но ничего не поделаешь.

Так вот, вместо построения ряда для поля можно попытаться построить функцию, которая на единичной сфере будет равна ДН и всюду аналитична. Если такая функция существует, надо исследовать скорость её роста на комплексной бесконечности. Утверждается (и в этом основной смысл теоремы), что скорость роста связана с «радиусом расходимости» того ряда.

Всё это можно разобрать на примере точечного источника с декартовыми координатами $(0,0,a)$, где $a>0$. Его поле
$u(\mathbf r)=\frac{e^{ikR}}{R}$,
где $\mathbf R=\mathbf r-\mathbf a$, $\mathbf a$ — радиус-вектор источника, $\mathbf r$ — точка, где измеряется поле. Ряд
$u(\mathbf r)=ik\sum\limits_n\;(2n+1)\;j_n(ka)\;h_n^{(1)}(kr)\;P_n(\cos \theta)$
сходится при $r>a$. В качестве упражнения можно построить соответствующую диаграмме направленности аналитическую функцию и по скорости роста получить тот же результат.

[realeugene]

Я ещё не читал внимательно весь вывод. Цитата про приближение непрерывно дифференцируемой функции и про точное решение как смысл теоремы - это был мой вольный перевод фразы из статьи. Возможно, там всё тоньше, чем мне показалось. Действительно, нужно внимательно проверить сходимости при произвольном радиусе.

[amon]

svv в сообщении #1150839 писал(а):

То, что у Мюллера рассматривается скалярный случай, непринципиально.

Как сказать. На три компоненты еще наложена связь (в электродинамике) $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$, которая побьёт часть решений, без связи благополучно существовавших.

[realeugene]

amon в сообщении #1150842 писал(а):

svv в сообщении #1150839 писал(а):

То, что у Мюллера рассматривается скалярный случай, непринципиально.

Как сказать. На три компоненты еще наложена связь (в электродинамике) $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$, которая побьёт часть решений, без связи благополучно существовавших.

Ещё забавнее может оказаться, что в электродинамике базис состоит из удвоенного набора побитых решений - TE и TM. И они все ортогональны, как говорят, в том числе, и на сфере.

-- 13.09.2016, 01:13 --

Кажется, я понимаю тонкость. Сумма конечного числа исходящих из центра сферических волн всюду регулярна при $r>0$ и может сколь угодно точно и однородно приблизить произвольную непрерывно дифференцируемую $f(\xi)$, хоть предел суммы таких волн, который дал бы $f(\xi)$, может и не существовать. Ну, идеальный обратимый цикл Карно тоже не существует, всё - лишь приближения.

Вот почему у автора исходящие волны с плюсом в фазовой экспоненте? Потому что вот: https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_convention

[svv]

amon в сообщении #1150842 писал(а):

Как сказать. На три компоненты еще наложена связь (в электродинамике) $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$, которая побьёт часть решений, без связи благополучно существовавших.

Справедливое замечание. Попробую выкрутиться.

Пусть заданная функция $\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)$ реализуема как диаграмма направленности для электрического поля (хотя мы пока не знаем, как это установить). Тогда электрическое поле на бесконечности будет иметь вид
$\mathbf E(\mathbf r)=\frac{e^{ikr}}{r}\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)+o(\frac 1 r)$,
что я буду обозначать короче: $\mathbf E\sim\frac{e^{ikr}}{r}\mathbf E_\infty$. При этом должно выполняться условие поперечности $\mathbf e_r(\theta, \varphi)\cdot\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)=0$. Функции $\mathbf E_\infty$, не удовлетворяющие этому условию, мы сразу отбрасываем.

Магнитное поле на бесконечности должно иметь вид
$\mathbf H\sim\frac{e^{ikr}}{r}\mathbf H_\infty$,
где $\mathbf H_\infty(\theta, \varphi)=\mathbf e_r(\theta, \varphi)\times\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)$. Эта функция заведомо удовлетворяет условию поперечности $\mathbf e_r(\theta, \varphi)\cdot\mathbf H_\infty(\theta, \varphi)=0$.

Потребуем (без гарантии успеха), чтобы функция $\mathbf H_\infty(\theta, \varphi)$ была ДН для поля $\tilde{\mathbf H}(\mathbf r)$, которое удовлетворяет векторному уравнению Гельмгольца и условию излучения $\tilde{\mathbf H}\sim\frac{e^{ikr}}{r}\mathbf H_\infty$, но необязательно имеет нулевую дивергенцию (и потому помечено тильдой как «не совсем магнитное»). Этот случай без проблем сводится к скалярному. Для каждой компоненты $\mathbf H_\infty$ построим ряд по сферическим гармоникам, описанный в моём предыдущем сообщении. Допустим, ряд сходится при $r>a>0$, тогда в области сходимости он даёт $\tilde{\mathbf H}(\mathbf r)$.

Теперь построим поле $\mathbf E=-\frac 1{ik}\operatorname{rot}{\tilde{\mathbf H}}$. Оно будет удовлетворять условию излучения $\mathbf E\sim\frac{e^{ikr}}{r}\mathbf E_\infty$, векторному уравнению Гельмгольца, но дивергенция у него уже будет нулевая!

Вывод: если векторная ДН $\mathbf E_\infty$ удовлетворяет условию поперечности, теорему нужно применить к $\mathbf H_\infty=\mathbf e_r\times\mathbf E_\infty$. В случае успеха нужное поле $\mathbf E$ с нулевой дивергенцией существует вне некоторого шара и, таким образом, реализуемо источниками внутри некоторого шара.

[realeugene]

svv в сообщении #1150854 писал(а):

Вывод: если векторная ДН $\mathbf E_\infty$ удовлетворяет условию поперечности, теорему нужно применить к $\mathbf H_\infty=\mathbf e_r\times\mathbf E_\infty$. В случае успеха нужное поле $\mathbf E$ с нулевой дивергенцией существует вне некоторого шара и, таким образом, реализуемо источниками внутри некоторого шара.

Отлично! И этот же вывод содержит алгоритм построения сколь угодно точной аппроксимации $\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)$ конечной суммой сферических гармоник, регулярной всюду при $r>0$, если только $\mathbf E_\infty(\theta, \varphi)$ нужное число раз непрерывно дифференцируема. Так что, мы можем хранить в спичечном коробке если не точный эталон изотропной антенны, то ряд эталонов изотропной антенны с разной погрешностью приближения.

[svv]

realeugene
Да, понимаю и согласен с Вами.
В частности, если мы 1) не будем «жадничать», т.е. требовать в точности ДН, нереализуемой малыми источниками, и 2) не будем бояться страшной реактивной болтанки полей в ближней зоне, мы можем добиваться чудес соотношения направленности и компактности.
Собственно, этот принцип лежит в основе теории и практики сверхнаправленных антенн.