Re: Функциональное уравнение

[todd-barry]

Помогите решить функциональные уравнения:
Отсутствие решений - тоже решение )
Функана у меня не было, а задачу решить нужно.
Вполне возможно, что даже поставил я задачу не очень верно. Постараюсь описать как можно подробнее, что мне нужно.
Условие задачи следующее:
$X$ - некоторое произвольное 3 мерное множество
\exists \vec{A}, \vec{B}, \vec{A'}, \vec{B'}\in X \newline \vec{A} = \left ( a_1, a_2, a_3 \right ) \newline \vec{A'}= \left ( a_1+m, a_2+m, a_3+m \right ) \newline \vec{B} = \left ( b_1, b_2, b_3 \right ) \newline \vec{B'}= \left ( b_1+n, b_2+n, b_3+n \right ) \newline a_1,a_2,a_3\in \mathbb{C} \newline b_1,b_2,b_3\in \mathbb{C} \newline m,n\in \mathbb{C} \newline \exists F:X\times X\rightarrow X \newline \exists h_1,h_2,h_3:X\times X\rightarrow\mathbb{C} \newline \exists y_1,y_2,y_3:X\rightarrow\mathbb{C} \newline y_1,y_2,y_3 - LNZ \newline \exists z:X\times X\times \mathbb{C}\times \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \newline F(\vec{A},\vec{B})=(h_1(\vec{A},\vec{B}),h_2(\vec{A},\vec{B}),h_3(\vec{A},\vec{B})) \newline h_1(\vec{A},\vec{B})=a_1b_1+a_2b_2+a_3y_1(\vec{B}) \newline h_2(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2+a_2b_1+a_3y_2(\vec{B}) \newline h_3(\vec{A},\vec{B})=a_1b_3+a_2b_3+a_3y_3(\vec{B}) \newline h_1(\vec{A'},\vec{B'})=h_1(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline h_2(\vec{A'},\vec{B'})=h_2(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline h_3(\vec{A'},\vec{B'})=h_3(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline $

LNZ ~ ЛНЗ ~ Линейно-независимы

Требуется найти аналитический вид отображений $h_1, h_2, h_3$, а соответственно и вид отображения $F$
П.С.: под $h_1(\vec{A},\vec{B})$ я подразумеваю $h_1(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)$ и для всех остальных отображений - так же.
Пишу $h_1(\vec{A},\vec{B})$ для сокращения записи

Пытался решать в лоб, используя стандартные методы - решал систему уравнений, однако задача, судя по всему, сложнее. И требует знания подходов к решению функциональных уравнений. Использовал Wolfram Mathematica. Но и ему не удаётся дать корректный ответ. Не знаю, может переменных слишком много для этого матпакета.
Может где-то не вполне корректно указано условие.

Вообще нужно построить отображение, ставящее двум элементам множества третий. Такой, чтобы его компоненты складывались из двух частей. Первая - линейно-независимая комбинация координат элементов $\vec{A}$ и $\vec{B}$. Вид её указан в условии выше. Вторая - одинаковая для всех компонент часть. То есть каждая координата элемента является суммой двух этих частей.

При этом это условие (координаты складываются из двух частей, описанных выше) должно сохраняться при прибавлении к каждой координате элемента из $X$ любого числа из $\mathbb{C}$, при том, что это число одинаково для всех координат.

Как-то так

П.С.: Оговорился. Не функана не было, а функциональных уравнений. Хотя и функана тоже не было

[Lia]

- приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.
Обозначения, насколько я вижу, расшифрованы не все.
Функан тут ни при чем.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Aritaborian]

todd-barry в сообщении #1150461 писал(а):

Использовал Wolfram Mathematica. Но и ему не удаётся дать корректный ответ.

Расскажите, пожалуйста, чем именно вы кормили Mathematica, и что она попыталась вам ответить.

[todd-barry]

Aritaborian, В качестве m и n взял пи и e

RSolve[{
  h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b1 + a2 b2 + a3 y1[b1, b2, b3],
  h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b2 + a2 b1 + a3 y2[b1, b2, b3],
  h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b3 + a2 b3 + a3 y3[b1, b2, b3],
  h1[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] == 
   h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E],
  h2[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] == 
   h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E],
  h3[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] == 
   h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E]},
 {h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3], h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3], 
  h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3]}, {a1, a2, a3, b1, b2, b3}]

В ответ возвращает то же самое. Просто не считает и всё.
А как в вольфрам корректно указать, что y1, y2, y3 - линейно независимы - не знаю даже :(

[svv]

Вот в этих формулах:
$h_1(\vec{A},\vec{B})=a_1b_1+a_2b_2+a_3y_1(\vec{B})$
$h_2(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2+a_2b_1+a_3y_2(\vec{B})$
$h_3(\vec{A},\vec{B})=a_1b_3+a_2b_3+a_3y_3(\vec{B})$
во вторых слагаемых индексы у $b$ точно правильные? Хочется поменять местами $b_2$ и $b_1$. Почему нарушен порядок?

[todd-barry]

svv
Порядок правильный. Он нарушен ввиду дополнитльных условий, на основе которых были составлены эти уравнения. Добавлю, что задача может не иметь решения в принципе.
Просто хочется надеяться, что оно есть :)

[Aritaborian]

Нутром чую, что вы хотите от Mathematica чего-то невыполнимого, но обосновать не могу. По-моему, тут не RSolve нужно использовать, это как минимум, хотя и не факт. Надеюсь, в топик придут спецы (по M.) уровнем повыше, а то я в данный момент и в данном случае как-то немножко теряюсь.

[svv]

Следующий вопрос: Вам нужно найти вид функций $h_i$ двух векторных аргументов, но они определяются более простыми функциями $y_i$ от одного векторного аргумента. Может, эти последние и надо вначале найти?

[todd-barry]

svv
В принципе да, вы правы. Но в общем случае можно видеть, что $h_i$ определяется не только через $y_i$, но и через $z$. Поэтому искать нужно $y_i,z$

Вся проблема в прибавлении к компонентам исходных векторов константы. Эта операция не должна менять вида компонент вектора, который получается при отображении исходных векторов функцией $F$, а добавочный член $z(\vec{A},\vec{B},m,n)$, который появляется при этой операции у всех компонент одновременно и одинаков для них всех не мешается в рамках поставленной задачи. Я им просто могу пренебречь, если он везде одинаков. Точно так же линейная независимость требуется ввиду того, что кусок $a_1b_1+a_2b_2+a_3y_i(\vec{B})$ содержит важную информацию, которая потеряется, если игрики будут линейно-зависимы

-- 11.09.2016, 03:20 --

Aritaborian
Ну, я не специалист по использовнаию Вольфрама. Но если верить документации, то, вроде как, RSolve подходит

[svv]

Если $y_i$ известны, то $h_i$ известны, и функция $z$ тоже известна:
$z(\vec{A},\vec{B},m,n)=h_1(\vec A+m\vec E},\vec B+m\vec E})-h_1(\vec{A},\vec{B})$,
где $\vec E=(1,1,1)\in X$.

Ту же функцию можно получить из разности $h_2$ от тех же аргументов, но, если $y_i$ заданы некорректно, результат получится другой.

[todd-barry]

svv
Тут $z$ могут получаться различными для $h_1, h_2, h_3$. По условию они должны быть одинаковы. Я не знаю, как соблюсти это условие - оно напрямую зависит от вида $y_i$, поскольку $y_i(\vec{B'})=y_i(\vec{B})+z'(\vec{B},m)$, где $z'$- часть получающейся $z$

[Aritaborian]

todd-barry в сообщении #1150518 писал(а):

Но если верить документации, то, вроде как, RSolve подходит

Оно-то, может, и подходит, но, как мы уже поняли при помощи уважаемого svv, задача поставлена не ахти как. И вот если мы сформулируем задачу верно, то и программа нам, возможно, ответит что-нибудь.

[todd-barry]

Aritaborian
Ну, я ещё только учусь )
Сама формулировка точно описывает то, что мне требуется. Разве что могут быть огрехи в том, что в задаче поставлена цель найти функции $h_i$, тогда ка начинать нужно с более простого. Но так или иначе - выше я уже описал, с какой конкретно проблемой я столкнулся при поиске $y_i$

[svv]

todd-barry в сообщении #1150522 писал(а):

Тут $z$ могут получаться различными для $h_1, h_2, h_3$. По условию они должны быть одинаковы.

Да. Поэтому даже не любые произвольно взятые $y_i$ допустимы. Однако если набор $y_i$ корректен, то $z$ по любому из $y_i$ восстанавливается однозначно.

Пусть $\vec E=(1,1,1)$. Это удобное обозначение. Пусть
$\vec C=F(\vec A, \vec B)$
$\vec C'=F(\vec A+m\vec E, \vec B)$
Тогда
$c_i=h_i(\vec A, \vec B)$
$c'_i=h_i(\vec A+m\vec E, \vec B)$
Учитывая вид $h_i$,
$c'_1=(a_1+m)b_1+(a_2+m)b_2+(a_3+m)y_1(\vec{B})=c_1+m(b_1+b_2+y_1(\vec{B}))$
$c'_2=(a_1+m)b_2+(a_2+m)b_1+(a_3+m)y_2(\vec{B})=c_2+m(b_2+b_1+y_2(\vec{B}))$
$c'_3=(a_1+m)b_3+(a_2+m)b_3+(a_3+m)y_3(\vec{B})=c_3+m(b_3+b_3+y_3(\vec{B}))$
Из Ваших условий следует, что $c'_1-c_1=c'_2-c_2=c'_3-c_3$. Следовательно,
$b_1+b_2+y_1(\vec{B})=b_2+b_1+y_2(\vec{B})=b_3+b_3+y_3(\vec{B})$,
откуда
$y_2(\vec{B})=y_1(\vec{B})$
$y_3(\vec{B})=y_1(\vec{B})+b_1+b_2-2b_3$