2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение10.09.2016, 17:58 


10/09/16
9
Помогите решить функциональные уравнения:
Отсутствие решений - тоже решение )
Функана у меня не было, а задачу решить нужно.
Вполне возможно, что даже поставил я задачу не очень верно. Постараюсь описать как можно подробнее, что мне нужно.
Условие задачи следующее:
$X$ - некоторое произвольное 3 мерное множество
\exists \vec{A}, \vec{B}, \vec{A'}, \vec{B'}\in X \newline
\vec{A} = \left ( a_1, a_2, a_3 \right ) \newline
\vec{A'}= \left ( a_1+m, a_2+m, a_3+m \right ) \newline
\vec{B} = \left ( b_1, b_2, b_3 \right ) \newline
\vec{B'}= \left ( b_1+n, b_2+n, b_3+n \right ) \newline
a_1,a_2,a_3\in \mathbb{C} \newline
b_1,b_2,b_3\in \mathbb{C} \newline
m,n\in \mathbb{C} \newline 
\exists F:X\times X\rightarrow X \newline
\exists h_1,h_2,h_3:X\times X\rightarrow\mathbb{C} \newline
\exists y_1,y_2,y_3:X\rightarrow\mathbb{C} \newline
y_1,y_2,y_3 - LNZ \newline
\exists z:X\times X\times \mathbb{C}\times \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \newline
F(\vec{A},\vec{B})=(h_1(\vec{A},\vec{B}),h_2(\vec{A},\vec{B}),h_3(\vec{A},\vec{B})) \newline
h_1(\vec{A},\vec{B})=a_1b_1+a_2b_2+a_3y_1(\vec{B}) \newline
h_2(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2+a_2b_1+a_3y_2(\vec{B}) \newline
h_3(\vec{A},\vec{B})=a_1b_3+a_2b_3+a_3y_3(\vec{B}) \newline
h_1(\vec{A'},\vec{B'})=h_1(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline
h_2(\vec{A'},\vec{B'})=h_2(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline
h_3(\vec{A'},\vec{B'})=h_3(\vec{A},\vec{B})+z(\vec{A},\vec{B},m,n) \newline
$

LNZ ~ ЛНЗ ~ Линейно-независимы

Требуется найти аналитический вид отображений $h_1, h_2, h_3$, а соответственно и вид отображения $F$
П.С.: под $h_1(\vec{A},\vec{B})$ я подразумеваю $h_1(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)$ и для всех остальных отображений - так же.
Пишу $h_1(\vec{A},\vec{B})$ для сокращения записи

Пытался решать в лоб, используя стандартные методы - решал систему уравнений, однако задача, судя по всему, сложнее. И требует знания подходов к решению функциональных уравнений. Использовал Wolfram Mathematica. Но и ему не удаётся дать корректный ответ. Не знаю, может переменных слишком много для этого матпакета.
Может где-то не вполне корректно указано условие.

Вообще нужно построить отображение, ставящее двум элементам множества третий. Такой, чтобы его компоненты складывались из двух частей. Первая - линейно-независимая комбинация координат элементов $\vec{A}$ и $\vec{B}$. Вид её указан в условии выше. Вторая - одинаковая для всех компонент часть. То есть каждая координата элемента является суммой двух этих частей.

При этом это условие (координаты складываются из двух частей, описанных выше) должно сохраняться при прибавлении к каждой координате элемента из $X$ любого числа из $\mathbb{C}$, при том, что это число одинаково для всех координат.

Как-то так

П.С.: Оговорился. Не функана не было, а функциональных уравнений. Хотя и функана тоже не было

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение10.09.2016, 18:17 


20/03/14
12041
 i  - приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.
Обозначения, насколько я вижу, расшифрованы не все.
Функан тут ни при чем.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.09.2016, 22:28 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение10.09.2016, 22:32 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
todd-barry в сообщении #1150461 писал(а):
Использовал Wolfram Mathematica. Но и ему не удаётся дать корректный ответ.
Расскажите, пожалуйста, чем именно вы кормили Mathematica, и что она попыталась вам ответить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 01:45 


10/09/16
9
Aritaborian, В качестве m и n взял пи и e
Код:
RSolve[{
  h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b1 + a2 b2 + a3 y1[b1, b2, b3],
  h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b2 + a2 b1 + a3 y2[b1, b2, b3],
  h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3] == a1 b3 + a2 b3 + a3 y3[b1, b2, b3],
  h1[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] ==
   h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E],
  h2[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] ==
   h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E],
  h3[a1 + \[Pi], a2 + \[Pi], a3 + \[Pi], b1 + E, b2 + E, b3 + E] ==
   h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3] + z[a1, a2, a3, b1, b2, b3, \[Pi], E]},
{h1[a1, a2, a3, b1, b2, b3], h2[a1, a2, a3, b1, b2, b3],
  h3[a1, a2, a3, b1, b2, b3]}, {a1, a2, a3, b1, b2, b3}]

В ответ возвращает то же самое. Просто не считает и всё.
А как в вольфрам корректно указать, что y1, y2, y3 - линейно независимы - не знаю даже :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Вот в этих формулах:
$h_1(\vec{A},\vec{B})=a_1b_1+a_2b_2+a_3y_1(\vec{B})$
$h_2(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2+a_2b_1+a_3y_2(\vec{B})$
$h_3(\vec{A},\vec{B})=a_1b_3+a_2b_3+a_3y_3(\vec{B})$
во вторых слагаемых индексы у $b$ точно правильные? Хочется поменять местами $b_2$ и $b_1$. Почему нарушен порядок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 01:57 


10/09/16
9
svv
Порядок правильный. Он нарушен ввиду дополнитльных условий, на основе которых были составлены эти уравнения. Добавлю, что задача может не иметь решения в принципе.
Просто хочется надеяться, что оно есть :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:06 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Нутром чую, что вы хотите от Mathematica чего-то невыполнимого, но обосновать не могу. По-моему, тут не RSolve нужно использовать, это как минимум, хотя и не факт. Надеюсь, в топик придут спецы (по M.) уровнем повыше, а то я в данный момент и в данном случае как-то немножко теряюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Следующий вопрос: Вам нужно найти вид функций $h_i$ двух векторных аргументов, но они определяются более простыми функциями $y_i$ от одного векторного аргумента. Может, эти последние и надо вначале найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:12 


10/09/16
9
svv
В принципе да, вы правы. Но в общем случае можно видеть, что $h_i$ определяется не только через $y_i$, но и через $z$. Поэтому искать нужно $y_i,z$

Вся проблема в прибавлении к компонентам исходных векторов константы. Эта операция не должна менять вида компонент вектора, который получается при отображении исходных векторов функцией $F$, а добавочный член $z(\vec{A},\vec{B},m,n)$, который появляется при этой операции у всех компонент одновременно и одинаков для них всех не мешается в рамках поставленной задачи. Я им просто могу пренебречь, если он везде одинаков. Точно так же линейная независимость требуется ввиду того, что кусок $a_1b_1+a_2b_2+a_3y_i(\vec{B})$ содержит важную информацию, которая потеряется, если игрики будут линейно-зависимы

-- 11.09.2016, 03:20 --

Aritaborian
Ну, я не специалист по использовнаию Вольфрама. Но если верить документации, то, вроде как, RSolve подходит

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Если $y_i$ известны, то $h_i$ известны, и функция $z$ тоже известна:
$z(\vec{A},\vec{B},m,n)=h_1(\vec A+m\vec E},\vec B+m\vec E})-h_1(\vec{A},\vec{B})$,
где $\vec E=(1,1,1)\in X$.

Ту же функцию можно получить из разности $h_2$ от тех же аргументов, но, если $y_i$ заданы некорректно, результат получится другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:26 


10/09/16
9
svv
Тут $z$ могут получаться различными для $h_1, h_2, h_3$. По условию они должны быть одинаковы. Я не знаю, как соблюсти это условие - оно напрямую зависит от вида $y_i$, поскольку $y_i(\vec{B'})=y_i(\vec{B})+z'(\vec{B},m)$, где $z'$- часть получающейся $z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:27 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
todd-barry в сообщении #1150518 писал(а):
Но если верить документации, то, вроде как, RSolve подходит
Оно-то, может, и подходит, но, как мы уже поняли при помощи уважаемого svv, задача поставлена не ахти как. И вот если мы сформулируем задачу верно, то и программа нам, возможно, ответит что-нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:47 


10/09/16
9
Aritaborian
Ну, я ещё только учусь )
Сама формулировка точно описывает то, что мне требуется. Разве что могут быть огрехи в том, что в задаче поставлена цель найти функции $h_i$, тогда ка начинать нужно с более простого. Но так или иначе - выше я уже описал, с какой конкретно проблемой я столкнулся при поиске $y_i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение11.09.2016, 02:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
todd-barry в сообщении #1150522 писал(а):
Тут $z$ могут получаться различными для $h_1, h_2, h_3$. По условию они должны быть одинаковы.
Да. Поэтому даже не любые произвольно взятые $y_i$ допустимы. Однако если набор $y_i$ корректен, то $z$ по любому из $y_i$ восстанавливается однозначно.

Пусть $\vec E=(1,1,1)$. Это удобное обозначение. Пусть
$\vec C=F(\vec A, \vec B)$
$\vec C'=F(\vec A+m\vec E, \vec B)$
Тогда
$c_i=h_i(\vec A, \vec B)$
$c'_i=h_i(\vec A+m\vec E, \vec B)$
Учитывая вид $h_i$,
$c'_1=(a_1+m)b_1+(a_2+m)b_2+(a_3+m)y_1(\vec{B})=c_1+m(b_1+b_2+y_1(\vec{B}))$
$c'_2=(a_1+m)b_2+(a_2+m)b_1+(a_3+m)y_2(\vec{B})=c_2+m(b_2+b_1+y_2(\vec{B}))$
$c'_3=(a_1+m)b_3+(a_2+m)b_3+(a_3+m)y_3(\vec{B})=c_3+m(b_3+b_3+y_3(\vec{B}))$
Из Ваших условий следует, что $c'_1-c_1=c'_2-c_2=c'_3-c_3$. Следовательно,
$b_1+b_2+y_1(\vec{B})=b_2+b_1+y_2(\vec{B})=b_3+b_3+y_3(\vec{B})$,
откуда
$y_2(\vec{B})=y_1(\vec{B})$
$y_3(\vec{B})=y_1(\vec{B})+b_1+b_2-2b_3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group