Изоморфизм прямых сумм циклических $p$-групп

[RrX]

Пусть $p$ - некое простое число. Необходимо доказать, что если
$\frac{\mathbb{Z}}{p^{r_1}\mathbb{Z}} \oplus ... \oplus \frac{\mathbb{Z}}{p^{r_m} \mathbb{Z}} \cong \frac{\mathbb{Z}}{p^{s_1}\mathbb{Z}} \oplus ... \oplus \frac{\mathbb{Z}}{p^{s_n}\mathbb{Z}}$,

$ r_1 \geq ... \geq r_m, s_1 \geq ... \geq s_n$,

то $m = n$, и $\forall i \in \{1, ..., n = m \} \ \ r_i = s_i$.

Задача взята из учебника "Algebra: Chapter $0$" за авторством Paolo Aluffi. Автор учебника предлагает рассмотреть образ эндоморфизма $\varphi_p$группы $G$, изоморфной обеим прямым суммам, полученного следующим образом:

$\varphi_p(g) = pg$.

Но лично я не знаю, как использовать такой подход. Очевидно,

$im \varphi_p \cong \frac{G}{\{0 \} \cup \{g \in G \ | \ |g| = p \}}$. Но как мы можем использовать этот $im \varphi_p$, мне пока непонятно. Если мы возьмём за $G$ $\frac{\mathbb{Z}}{p^{r_1}\mathbb{Z}} \oplus ... \oplus \frac{\mathbb{Z}}{p^{r_m} \mathbb{Z}}$, то каждый элемент $im \varphi$ будет иметь форму

$( n_1[p]_{p^{r_1}}, ..., n_r[p]_{p^{r_m}} )$ для неких $n_j \in \{0, ..., p^{r_j} - 1 \}$.

[Sonic86]

RrX в сообщении #1150187 писал(а):

Но лично я не знаю, как использовать такой подход.

Ну елки: если посчитать $\varphi^k(G)$ для достаточно больших $k$, то сначала отвалится $n$-я компонента, потом $n-1$-я, ..., что останется?

[RrX]

Sonic86 в сообщении #1150277 писал(а):

RrX в сообщении #1150187 писал(а):

Но лично я не знаю, как использовать такой подход.

Ну елки: если посчитать $\varphi^k(G)$ для достаточно больших $k$, то сначала отвалится $n$-я компонента, потом $n-1$-я, ..., что останется?

Понимаю, при "умножении" группы на некую степень $p$ она превращается в тривиальную группу. Но как это нам поможет?

[user14284]

Индукцией например

[Sonic86]

RrX в сообщении #1150334 писал(а):

Понимаю, при "умножении" группы на некую степень $p$ она превращается в тривиальную группу. Но как это нам поможет?

Не, это Вы савсэм балшое $k$ взяли, вазьми паменьше, дарагой
Рассмотрите, например $\varphi(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})$