Пусть

- некое простое число. Необходимо доказать, что если

,

,
то

, и

.
Задача взята из учебника "Algebra: Chapter

" за авторством Paolo Aluffi. Автор учебника предлагает рассмотреть образ эндоморфизма

группы

, изоморфной обеим прямым суммам, полученного следующим образом:

.
Но лично я не знаю, как использовать такой подход. Очевидно,

. Но как мы можем использовать этот

, мне пока непонятно. Если мы возьмём за

, то каждый элемент

будет иметь форму
![$( n_1[p]_{p^{r_1}}, ..., n_r[p]_{p^{r_m}} )$ $( n_1[p]_{p^{r_1}}, ..., n_r[p]_{p^{r_m}} )$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/3/9d3d9c4965312c446a940601d7c62b3d82.png)
для неких

.