Доказать условие устойчивости явной схемы ур-я тепл-сти

[byulent]

Условие задачи звучит так:

Цитата:

Докажите условие устойчивости явной схемы (4). Указание: решение (2) ищите в виде $T^n_i \sim q^n\exp\{jkih\}$ (здесь $j$ - мнимая единица). Очевидно, схема устойчива, когда $|q|$ не превышает единицу ни для одного $k$.

Цитата:

$$\frac{T^{n+1}_i-T^n_i}{\tau}=D\frac{T^n_{i+1}-2T^n_i+T^n_{i-1}}{h^2} \eqno{(2)}$$

Цитата:

$$\tau=\frac{h^2}{2D}\eqno{(4)}$$

Путём подстановки в явную схему данной формулы, сокращений и применения формулы Эйлера я пришёл к такому уравнению:

$$\tau=\frac{h^2(q-1)}{2D(\cos kh-1)}.$$

Но как из этого доказать требуемое, я сообразить никак не могу. Помогите мне, пожалуйста.

[Pphantom]

byulent в сообщении #1150084 писал(а):

Путём подстановки в явную схему данной формулы, сокращений и применения формулы Эйлера я пришёл к такому уравнению

Что получится, если в это уравнение подставить выражение (4)?

Кстати, условие устойчивости - это обычно неравенство, а у Вас написан только предельный случай.

[byulent]

Pphantom в сообщении #1150103 писал(а):

Что получится, если в это уравнение подставить выражение (4)?

Получится: $\frac{q-1}{\cos kh-1}\leqslant 1$. И как это доказать?

Pphantom в сообщении #1150103 писал(а):

Кстати, условие устойчивости - это обычно неравенство, а у Вас написан только предельный случай.

Да, извиняюсь. Поправить уже не могу, к сожалению.

[DeBill]

byulent в сообщении #1150221 писал(а):

И как это доказать?

Доказать - не получится...
Вообще то, надо бы было рассуждать чуток не так: подставить, и найти $q$ (собственно, нужное ур-е у Вас есть). Затем написать Ваши ограничения на найденные $q$ ($\left\lvert q\right\rvert <1$), и отсюда получить условие устойчивости (на параметры $\tau,h$)....

(Оффтоп)

И исчо: косинус - по модулю - завсегда (почти) меньше 1.

[Pphantom]

byulent в сообщении #1150221 писал(а):

Получится: $\frac{q-1}{\cos kh-1}\leqslant 1$. И как это доказать?

Вообще говоря, это не надо доказывать. Из этого надо получить какое-то ограничение на $q$ и посмотреть, каким оно будет.

И еще одно замечание, помимо упомянутого DeBill: Вы перепутали "направление" неравенства.