Подскажите метод решения - ДУ первого порядка

[Konstantin_CHEL]

Здравствуйте. Подскажите метод решения такого диф. уравнения:

$ CU(t)\frac{dU(t)}{dt}+ \frac{1-e^{\frac{-t}{T}}}{R}[U(t)^2-EU(t)] = P(t)$

$C, R, T, E $ - положительные константы.

Возможно ли его вообще решить аналитически? Буду признателен за указание на какой-нибудь литературный источник.
Интересует установление зависимости $U[P(t)]$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Выходя за рамки вопроса: Ваше уравнение напоминает уравнение баланса мощности в электрической цепи с сопротивлением, конденсатором, каким-то внешним источником. Соответственно, оно квадратично относительно неизвестной величины — напряжения $U$. Нелинейные уравнения решаются гораздо тяжелее, чем линейные, если решаются вообще.

Может быть, в Вашем распоряжении есть и исходные линейные уравнения? (полученные из законов Кирхгофа) Давайте их.

[Konstantin_CHEL]

svv в сообщении #1149961 писал(а):

Может быть, в Вашем распоряжении есть и исходные линейные уравнения? (полученные из законов Кирхгофа) Давайте их.

Хорошо. Тогда я развернуто изложу условие задачи, стоящей передо мной.

Схема электрической цепи:

Данная схема описывается системой из трех уравнений:

$$\begin{cases} U(t)=RI_L (t)+L\frac{dI_L (t)}{dt}+E,&\text{(1)}\\ I_C (t)=C\frac{dU(t)}{dt},&\text{(2)}\\ I(t)=I_L (t)+I_C (t).&\text{(3)} \end{cases}$$

Цепь связывает два источника. Первый - неизвестное произвольное напряжение $U(t)$, второй - идеальный источник постоянной ЭДС $E$.
Моя задача такова: по известной мощности $P(t)=I(t)\cdot U(t)$ найти закон $U(t)$.
Я решил действовать вот так:
Найдем для этого выражение для тока $I(t)$. Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$

Подставляя (2) и (4) в (3) получим выражение для тока источника $I(t)$:

$I(t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T})+C\frac{dU(t)}{dt}$. (5)

Теперь остается умножить уравнение (5) на $U(t)$ и решить получившееся уравнение (см. начальный пост) относительно $U(t)$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- картинку в теги img.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[mihiv]

Konstantin_CHEL в сообщении #1150105 писал(а):

Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$

Решение первого уравнения другое.

[Someone]

Konstantin_CHEL в сообщении #1150105 писал(а):

Решением первого уравнения будет:

$I_L (t)=\frac{U(t)-E}{R} \cdot (1 - e^\frac{-t}{T}),$ (4)

где $T=\frac{L}{R}.$

Ну что Вы, ни в коем случае такого решения не будет (это уже mihiv написал, пока я с вашей системой возился).
Тут вообще надо все неизвестные, кроме $U(t)$, выразить через $P(t)$ и $U(t)$. В результате получится дифференциальное уравнение второго порядка (нелинейное), которое решать непонятно как. Конечно, численными методами можно, если задать конкретные (численные) значения $C$, $R$, $L$, $E$ и конкретную функцию $P(t)$.

[V.V.]

Не понял, что нелинейного. Продифференцируйте первое уравнения, подставьте второе, а потом третье. Получится линейное второго порядка.

[Someone]

V.V. в сообщении #1150184 писал(а):

Не понял, что нелинейного.

Вы, видимо, не обратили внимания, что $I(t)=\frac{P(t)}{U(t)}$, где $P(t)$ — заданная функция.

[svv]

Несложно получить такое уравнение, в котором неизвестной будет $I_L$:
(1) даёт выражение $U$ через $I_L$;
подставив $U$ в правую часть (2), выразим $I_C$ через $I_L$;
подставив $I_C$ в правую часть (3), выразим $I$ через $I_L$;
подставив $U$ и $I$ в $P=UI$, выразим $P$ через $I_L$.

Найдя $I_L$, получим и $U$.