определение вещественного числа

[knizhnik]

А можно ли ввести понятие вещественного числа таким образом:
дробную часть определим как функцию из множества $\{f \mid f: \mathbb{N} \to \{0, ... , 9\} \} \setminus \{f: \mathbb{N} \to \{9\}\}$
целую часть как целое число
вещественное число как сумму некоторой целой и дробной части
?

[mihaild]

Как сумму нельзя - операция сложения целого числа и такой функции еще не определена. Можно как пару (это уже очевидно из мощностных соображений).
Только кроме определения самого множества, нужно еще ввести операции.

[knizhnik]

Комплексное число тоже же дается как формальная сумма вещественной и мнимой части. А уже затем как-то вводятся операции.

[mihaild]

В смысле, вы предлагаете определять $\mathbb{C}$ как множество пар вида $(a, b)$ и записывать такие пары как $a + b\cdot i$, где $a, b \in \mathbb{R}$? Так можно сделать (и обычно примерно так и делают, хотя есть и другие определения), но еще нужно сказать, что такое сумма таких пар, и что такое их произведение. Без этого ничего интересного сделать не получится.

Вообще, что выбирать в качестве носителя структуры - неважно. Важно, как устроены операции.

[knizhnik]

А что насчет сходимости рациональных последовательностей? Есть способ определения через них. Но как узнать, сходится ли такая последовательность?

[iifat]

knizhnik в сообщении #1150000 писал(а):

как узнать, сходится ли

Индивидуально. В принципе, известно, что существуют последовательности рациональных чисел; также известно, что некоторые из них сходятся. Это уже позволяет создать некую теорию.

-- 08.09.2016, 10:58 --

knizhnik в сообщении #1149993 писал(а):

дробную часть определим как функцию из множества

Запрет на бесконечную последовательность девяток у вас, кстати, выражен неправильно.

[knizhnik]

Цитата:

некоторые из них сходятся

Я не знаю, какое тут определение сходимости. Не подскажете мне?

Цитата:

Запрет на бесконечную последовательность девяток у вас, кстати, выражен неправильно.

Объясните пожалуйста, что конкретно там не так.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1150002 писал(а):

Я не знаю, какое тут определение сходимости. Не подскажете мне?

А какое определение последовательности вы используете? И откуда вы вообще взяли такое определение вещественного числа?

(Оффтоп)

Если в учебнике, где $\mathbb{R}$ определяется как множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, при этом не написано определение фундаментальной последовательности - это, мягко говоря, вызывает сомнения в качестве учебника.

knizhnik в сообщении #1150002 писал(а):

Объясните пожалуйста, что конкретно там не так.

Сформулируйте словами, что именно вы хотели запретить (то, что обычно запрещают, если интерпретировать $f(0), f(1), \ldots$ как знаки дробной части, у вас не запрещено).

[Lia]

knizhnik
Для выборочного цитирования используйте кнопку "Вставка", предварительно выделив нужный фрагмент.

[knizhnik]

mihaild в сообщении #1150003 писал(а):

Сформулируйте словами

Надо запретить все варианты c бесконечными девятками в конце. Что если так:
$\{f \mid f: \mathbb{N} \to \{0, ... , 9\} \} \setminus \{f \mid \exists x \in \mathbb{N} \ \forall Y \in \mathbb{N} (Y \geqslant x \Rightarrow f(Y)=9) \}$, а?

mihaild в сообщении #1150003 писал(а):

при этом не написано определение фундаментальной последовательности - это, мягко говоря, вызывает сомнения в качестве учебника.

Это Виноградова второй том, там очень похожее на сходимость определение, но исключительно через рациональные числа
$\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $
Это понятие фундаментальной последовательности. как доказать, что такая рациональная сходимость является обычной сходимостью? Или я не прав?

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150006 писал(а):

Это Виноградова второй том, там очень похожее на сходимость определение, но исключительно через рациональные числа
$\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $
Это понятие фундаментальной последовательности. как доказать, что такая рациональная сходимость является обычной сходимостью? Или я не прав?

А что есть "обычная сходимость"?

В области рациональных чисел (определенная выше) фундаментальность не равносильна сходимости.
Скажем, последовательность приближений числа $\pi$ с точностью до целых, десятых, сотых... будет фундаментальной, но не будет сходиться (ни к какому рациональному числу).

Основная идея рассмотрения фундаментальных последовательностей рациональных чисел - построение новой области, в которой все фундаментальные последовательности уже будут сходиться.

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

А что есть "обычная сходимость"?

Когда значения $\varepsilon$ можно брать вещественные.

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

В области рациональных чисел (определенная выше) фундаментальность не равносильна сходимости.

Вопрос о том, можно ли перенести это на вещественную область и как, если можно.

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

Скажем, последовательность приближений числа $\pi$ с точностью до целых, десятых, сотых... будет фундаментальной, но не будет сходиться (ни к какому рациональному числу).

Предположите, что множество $\mathbb{R}$ уже построено одним из способов. Можно ли в новой области доказать, что фундаментальность будет разновидностью сходимости?

[iifat]

knizhnik в сообщении #1150002 писал(а):

Я не знаю, какое тут определение сходимости

Грешен. Подзабыл определение. Действительно, не сходящиеся, а фундаментальные последовательности.

knizhnik в сообщении #1150013 писал(а):

Можно ли в новой области доказать, что фундаментальность будет разновидностью сходимости?

А то ж. Есть такая теорема в теории пределов.

[SomePupil]

knizhnik в сообщении #1150006 писал(а):

Это понятие фундаментальной последовательности. как доказать, что такая рациональная сходимость является обычной сходимостью? Или я не прав?

Насколько мне известно, сходимость постулируется. То есть, считается, что любая фундаментальная последовательность рациональных заведомо сходится к какому-то вещественному числу. Дальше на основе этого предположения определяются операции сложения и умножения, вводится отношение порядка на $\mathbb R$.

Если же множество вещественных чисел уже определено каким-то другим образом, то сходимость фундаментальных последовательностей есть следствие общего критерия Коши.

P. S. Имхо, строгое определение вещественного числа $-$ это единственная великая вещь, которая есть в матанализе. Все эти дифуры, интегралы, хитрые пространства хитрых функций $-$ это, конечно, впечатляет, но по своей значимости они значительно уступают поистине грандиозному достижению человеческого разума $-$ аксиоматическому определению действительного числа.

[knizhnik]

iifat в сообщении #1150015 писал(а):

Есть такая теорема в теории пределов.

Где найти доказательство теоремы? А от девяток я правильно избавился, или снова не так?

SomePupil в сообщении #1150016 писал(а):

поистине грандиозному достижению человеческого разума $-$ аксиоматическому определению действительного числа.

С аксиоматикой $\mathbb{R}$ я еще не ознакомился. У Шилова вроде бы учебник начинается с определения поля через аксиомы, но поле не обязательно будет $\mathbb{R}$.