Задача:
Крокодил двигается с разной скоростью по суше и воде (5 и 4 метра в секунду соответственно).
Крокодил находится на берегу реки шириной 6 метров, а на другом берегу, на расстоянии 20 метров находится зебра -- потенциальная добыча крокодила.
Найти путь крокодила к зебре, который займет минимальное время.
Решение, с точки зрения анализа, элементарное.
Время в пути например
, где
это некий параметр (смысл для моего вопроса не важен), производная соответственно
принимает нулевое значение при
, это минимум и соответственно минимальное время равно 9.8с
Картинка с крокодилом и зеброй есть тут:
http://mashable.com/2015/10/09/crocodile-maths-problem/ И там написано что студенты лили слезы и не могли решить задачку эту. Я так понял что имелись в виду студенты 1 курса института, если по-нашему.
Вопрос собственно такой -- можно ли решить эту задачу без привлечения производных?
То есть, может ли решить такую задачу школьник, которому про производные еще не рассказывали?
У меня такое решение найти не получилось. Школьник, не привлекая производные, мог бы сделать вывод, что "если функция везде возрастает, то её максимум находится на правом конце интервала" или "если до точки
функция все время убывает а после
все время возрастает, то
- минимум". Например, понять то, что ноль является минимумом функции
для школьника не составило бы труда.
Преобразованиями задача сводится к минимизации функции
но как это сделать без производных все равно непонятно.
В журнале Квант пишут что "Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х, при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения, равна нулю", здесь:
http://www.physbook.ru/index.php/Kvant. ... 0%BC%D0%B0Однако например у Фейнмана как-то хитро выводится закон синусов (преломления), но я не понял как именно и можно ли применить это к задаче про крокодила, описанной выше:
http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obshaya_ ... 1965ru.pdf страницы 11-12.
Еще один способ предложили на другом форуме, " берем жесткий горизонтальный лист, на месте зебры протыкаем дырочку и продеваем веревочку на которую вешаем груз 4 Н. На месте крокодила тоже протыкаем дырку и вешаем груз 5 Н. Обе веревки привязываем к кольцу которое может скользить вдоль дальнего берега.
Теперь рассмотрим условие равновесия кольца. Проекции сил на ось, направленную вдоль берега должны быть противоположны, получаем тот же самый синус 4/5.", всё красиво, чистая геометрия без производных (то есть школьник такую задачу решить может), но как показать эквивалентность задач?