Сходимость в L2

[mihaild]

Стандартное определение непрерывности (норма в качестве расстояния).
Надо доказать, что если функция переводит любую последовательность, сходящуюся к данной точке, в последовательность, сходящуюся к образу данной точки, то она в ней непрерывна.
Удобнее всего это доказывать от противного. Возьмем отрицание непрерывности в точке: $\exists \varepsilon > 0 \forall \delta >0 \exists x: \|x - x_0\| < \delta \wedge \|Ax - Ax_0\| > \varepsilon$. Из этого надо изготовить последовательность $x_n \to x_0$, такую, что $\|Ax_n - Ax_0\| > \varepsilon$.