18, 19 и 20 делителей

[Ktina]

Натуральное число можно представить как сумму 18 его делителей (не обязательно различных) и как сумму 19 его делителей (не обязательно различных). Докажите, что это число можно представить и как сумму 20 его делителей (не обязательно различных).
(В. Франк)

Попытка:
Я думаю, что если среди 19 делителей, дающих в сумме исходное число, есть чётный делитель, то его можно заменить на две его половинки. Сумма не изменится, а делителей будет уже не 19, а 20 - и задача решена.
Если же среди 19 делителей чётного нет, то исходное число нечётно (как сумма 19 нечётных чисел). Но в таком случае все его делители нечётны, а это означает, что его нельзя представить как сумму 18 его делителей (ибо сумма 18 нечётных чисел есть число чётное) - и такое число не релевантно для нашей задачи.

Ничего не упущено?

[Shadow]

Ktina в сообщении #1148671 писал(а):

Ничего не упущено?

Ничего.

[Ktina]

Shadow
Спасибо!

Можно обобщить эту задачу:

Если натуральное число представимо в виде суммы $2k$ его делителей $(k\in\mathbb {N})$ и в виде суммы $2k+1$ его делителей, то оно представимо и в виде суммы $2k+2$ его делителей.