2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 18, 19 и 20 делителей
Сообщение03.09.2016, 10:32 
Аватара пользователя
Натуральное число можно представить как сумму 18 его делителей (не обязательно различных) и как сумму 19 его делителей (не обязательно различных). Докажите, что это число можно представить и как сумму 20 его делителей (не обязательно различных).
(В. Франк)

Попытка:
Я думаю, что если среди 19 делителей, дающих в сумме исходное число, есть чётный делитель, то его можно заменить на две его половинки. Сумма не изменится, а делителей будет уже не 19, а 20 - и задача решена.
Если же среди 19 делителей чётного нет, то исходное число нечётно (как сумма 19 нечётных чисел). Но в таком случае все его делители нечётны, а это означает, что его нельзя представить как сумму 18 его делителей (ибо сумма 18 нечётных чисел есть число чётное) - и такое число не релевантно для нашей задачи.

Ничего не упущено?

 
 
 
 Re: 18, 19 и 20 делителей
Сообщение03.09.2016, 10:44 
Ktina в сообщении #1148671 писал(а):
Ничего не упущено?
Ничего.

 
 
 
 Re: 18, 19 и 20 делителей
Сообщение03.09.2016, 10:48 
Аватара пользователя
Shadow
Спасибо!

Можно обобщить эту задачу:

Если натуральное число представимо в виде суммы $2k$ его делителей $(k\in\mathbb {N})$ и в виде суммы $2k+1$ его делителей, то оно представимо и в виде суммы $2k+2$ его делителей.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group