Перестановки из квадратов неких чисел, являющиеся квадратами

[kotenok gav]

Обозначим множество которое включает все возможные перестановки числа $n$, как $M_n$.
Тогда, конечно или бесконечно число решений уравнения $y^2 \in M_{x^2}$ если $x$ не равен $y$ и пары $(x;y)$ и $(y;x)$ одинаковы?
Если конечно, тогда сколько их и какие они?
А если бесконечно, тогда по какому алгоритму их можно найти?
Я нашел вручную две пары таких чисел: $(12;21)$ и $(16;25)$.

[Brukvalub]

kotenok gav в сообщении #1148031 писал(а):

Обозначим множество которое включает все возможные перестановки числа $n$, как $M_n$.

Безграмотная формулировка:
1. Не определен термин "перестановки числа".
2. Нельзя однозначно определить множество, назвав некоторые его элементы.

[kotenok gav]

1. Я хотел написать перестановки цифр числа.
2. Это все элементы моего множества.
Мама сейчас просит чтобы я признался что мне 8 лет.

[Mikhail_K]

Другими словами, вопрос в том, бесконечно ли количество пар $(x,y)$ таких, что числа $x^2$ и $y^2$ получаются друг из друга перестановками цифр.
Ответ: да, бесконечно. Хотя бы: $(101,110)$, $(1001,1010)$, $(1001,1100)$, $(10001,10010)$ и так далее.
Да даже из Ваших примеров можно сколько угодно таких пар наворотить: $(12,21)$, $(120,210)$, $(1200,2100)$, ... .

(Оффтоп)

kotenok gav в сообщении #1148033 писал(а):

Мама сейчас просит чтобы я признался что мне 8 лет.

Зря признались :)

[kotenok gav]

А если без "добавления нулей"? Тогда к примеру, пары (120,210) и (12;21) одинаковы.

[gris]

Мне кажется, что числа из единиц, разбавленных достаточным количеством нулей, будут доставлять не только пары, но и тройки и т.д. Например:
$10000000100000001\sim10000010000000001\sim10000000000100001\sim...$
Вместо внутренних единиц можно брать и другие цифры . Было бы интересно находить пары вообще без нулей.

(Оффтоп)

Кстати, для котёнка восемь лет это возраст мудрости

[atlakatl]

gris
По тому, как котёнок формулировал вопрос про цепную дробь, можно сделать вывод, что аккаунтом владеет лицо гораздо старше.

kotenok gav в сообщении #1145727 писал(а):

А как найти эту цепную дробь?

$$\sqrt{31}\approx 5.567764=5+\frac{1}{(\frac{250000}{141941})}=5+\frac{1}{1+\frac{1}{(\frac{141941}{108059})}}$$

$$\frac{141941}{108059}=1+\frac{1}{(\frac{108059}{33882})}$$

Больше членов не могу...

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #1148087 писал(а):

По тому, как котёнок формулировал вопрос про цепную дробь, можно сделать вывод, что аккаунтом владеет лицо гораздо старше.

Он не только про цепную дробь, но и про доказательства формул с интегралами, комплексными числами и гамма-функцией вопрос формулировал.

-- 31.08.2016, 13:31 --

gris в сообщении #1148084 писал(а):

Мне кажется, что числа из единиц, разбавленных достаточным количеством нулей, будут доставлять не только пары, но и тройки

Да даже если и не разбавлять, иногда получается. $1001\sim 1010\sim 1100$; $10011\sim 10110\sim 11001\sim 11010$.

[kotenok gav]

А без разбавления нулями?

(Оффтоп)

Аккаунт только мой:-)

[atlakatl]

kotenok gav
А никто не сомневается. И про 8-летку тоже все поверили.

[kotenok gav]

Мне почти девять лет.

[gris]

Ну как же пропустить тройку $(13,14,31)\to (169,196,961)$
Двойки: $(33,99)\to (1089,9801); (64,98)\to (4096,9604)$

В общем, я теории не увидел . Только тупой перебор. Выделяем квадраты с одинаковым количеством цифр, сортируем каждый по цифрам, сортируем получившийся массив, ищем одинаковых соседей. Тоска.

[svv]

kotenok gav в сообщении #1148033 писал(а):

Мама сейчас просит чтобы я признался что мне 8 лет.

Ой, шоб Вам было столько лет, на сколько признаетесь.

[Cash]

Можно от $10^n$ пойти в другую сторону.
Например, $10^n-11$ и $10^n-101$, то бишь $999\ldots 9989$ и $999\ldots 9899$.
Здесь я предположил, что $x$ и $y$ также состоят из одинакового набора цифр. Хотя в первоначальной постановке этого не требовалось.

Вообще список таких пар весьма велик.
Вот, например, список до $10^5$ исключительно женского пола

(Оффтоп)

(12,21)
(13,31)
(1026,2601)
(1027,2701)
(1028,2801)
(1029,2901)
(1042,2401)
(1122,2211)
(1203,3012)
(1212,2121)
(1402,2014)
(1403,3014)
(1502,2150)
(1503,3150)
(1602,2016)
(1603,3016)
(1702,2017)
(1802,2018)
(1902,2019)
(3192,9321)
(3754,4375)
(3796,6379)
(3842,4238)
(3879,7398)
(4158,8541)
(4615,5461)
(4856,5684)
(5198,9851)
(5779,7957)
(5981,8519)
(6028,8206)
(6367,7636)
(6377,7763)
(6813,8136)
(6867,8676)
(8921,9218)