2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число решений
Сообщение22.04.2008, 15:50 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
Помогите решить!
Найти число точек над полем $F_q$ (q-простое число). Дана кривая $x^2+y^2=1$ и ее параметризация $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, y=\frac{2t}{1+t^2}$
(это меня друг попросил запостить, может я что-то не правильно понял)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 23:52 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Не понял насчёт параметризации. Предположим, что задача такая: найти число решений $x^2+y^2=1$ над полем $F_q$, где $q$ - простое.

Рассмотрим $q>2$ ($q=2$ можно на пальцах посчитать). При фиксированном $x$ существует $1 + \left(\frac {1-x^2}q\right)$ различных $y$, удовлетворяющих $x^2+y^2=1$. Значит, всего решений у нас будет (обозначим это число $N$)

$$N = \sum\limits_{x=0}^{q-1}\left(1 + \left(\frac {1-x^2}q\right)\right) = q + \sum\limits_{x=0}^{q-1}\left(\frac {1-x^2}q\right)$$.

Очевидно, что $2\leqslant N \leqslant 2q-2$. Не меньше двух, так как хотя бы два решения есть, и не больше $2q-2$, так как в сумме $\sum\limits_{x=0}^{q-1}\left(\frac {1-x^2}q\right)$ есть хотя бы два слагаемых, равных нулю (соответствующие $x=1$ и $x=q-1$).
Поэтому если мы докажем, что $N\equiv -\left(\frac {-1}q\right) \pmod{q}$, то отсюда будет следовать, что $N = q-\left(\frac{-1}q\right)$. Все дальнейшие сравнения - по модулю $q$.

$$\sum\limits_{x=0}^{q-1}\left(\frac{1-x^2}q\right) \equiv \sum\limits_{x=0}^{q-1}(1-x^2)^{\frac{q-1}2} = \sum\limits_{x=0}^{q-1} \sum\limits_{i=0}^{\frac{q-1}2} C_{\frac{q-1}2}^i (-x^2)^i = \sum\limits_{i=0}^{\frac{q-1}2} C_{\frac{q-1}2}^i (-1)^i \sum\limits_{x=0}^{q-1} x^{2i} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{\frac{q-1}2} C_{\frac{q-1}2}^i (-1)^i \sum\limits_{x=1}^{q-1} x^{2i}$$

Теперь воспользуемся тем, что $$\sum\limits_{x=1}^{q-1}x^j \equiv \begin{cases}-1, & q-1 | j \\ 0, & \mbox{ иначе }\end{cases}$$. Ясно, что в последней сумме имеет смысл суммировать только при $i = 0$ и $i = \frac{q-1}2$.

$$N \equiv 1 - 1 - (-1)^{\frac{q-1}2} = -(-1)^{\frac{q-1}2} = -\left(\frac{-1}q\right)$$,

что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group