Градиент функции

[svv]

Brukvalub
+ очень много.

alcoholist
В первом сообщении автора не менее ясно написано выражение $\frac{1}{n (n-2) \omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x-y|^{n-2}}$, так что игрек никто не придумывал. Более того, игрек здесь уместен.

Функция $G(x, y)=\frac{1}{\omega_{n}}\cdot \frac{1}{|x-y|^{n-2}}$ — это, с точностью до коэффициента, функция Грина задачи $\Delta u(x)=f(x)$ (плюс условие на бесконечности) в $n$-мерном евклидовом пространстве. Физическая интерпретация: это поле в точке $x$ единичного точечного источника, расположенного в точке $y$. Функция, имеющая такой смысл, естественно, зависит от двух векторных аргументов $x$ и $y$. И находить градиент можно как по координатам «приёмника» $x$, так и «источника» $y$ (получая различные результаты).

В этом контексте $x-y$ не интерпретируется как радиус-вектор некоторой точки (каков её смысл?)

[arseniiv]

А градиент функции векторного аргумента разве нельзя ввести? Касательное пространство к любой точке векторного можно отождествить с ним самим.

[falazure123]

первая фотография. Хотим доказать лемму, что вот финитная функция представима в таком виде.
Для док-ва используем факт, который написан в скобочках. только вместо $f$ туда подставляем $-\Delta u$

Дальше хотим проинтегрировать по частям, но у функции $\Phi$есть 'особенность'. И её хотим вырезать. Поэтому пишем предел такой. Теперь можем интегрировать по частям. Граничный член стремится к нулю при $\varepsilon \to 0$.

Вторая фотография. Сразу вверху написано, что осталось после интегрирования по частям. Теперь вот как раз хотим посчитать градиент $\Phi$.

Вот градиент посчитаем и получим, что требовалось.
Ну я впринципе сюда всё то же самое писал

[Brukvalub]

Вот это заинтересовало:

falazure123 в сообщении #1148116 писал(а):

Теперь можем интегрировать по частям.

Как в общем виде выглядит использованная формула "интегрирования по частям"?

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #1148128 писал(а):

Вот это заинтересовало:

falazure123 в сообщении #1148116 писал(а):

Теперь можем интегрировать по частям.

Как в общем виде выглядит использованная формула "интегрирования по частям"?

эта формула используется

многомерный случай.

[Brukvalub]

falazure123, у меня остался только один в этой теме к вам вопрос: "так по какой же, в конце концов, переменной вычисляется градиент?"

[falazure123]

Brukvalub в сообщении #1148136 писал(а):

falazure123, у меня остался только один в этой теме к вам вопрос: "так по какой же, в конце концов, переменной вычисляется градиент?"

я и сам теперь не знаю. у нас всегда говорилось
'градиент по пространственной переменной'
и вроде как всегда это был градиент по иксу.
здесь никаких оговорок специальных не было

[svv]

svv в сообщении #1148017 писал(а):

по компонентам $x$ или $y$, в зависимости от ситуации.

[falazure123]

svv в сообщении #1148143 писал(а):

svv в сообщении #1148017 писал(а):

по компонентам $x$ или $y$, в зависимости от ситуации.

я уже запутался совсем .

в том, что я скинул это точно можно определить?
или Вы тоже не понимаете по какой переменной градиент?

[svv]

Нет, всё ясно.
При интегрировании по частям «перебрасываемое» дифференцирование должно быть по переменной интегрирования, поэтому градиент $\Phi$ получится по $y$:
$-\int\limits_G \Phi(x, y) \Delta_y u(y) dy=\int\limits_G \operatorname{grad}_y \Phi(x, y) \cdot\operatorname{grad}_y u(y) dV(y)-\text{внеинтегральный член}$
Мы можем перейти к градиенту $\Phi$ по $x$:
$\operatorname{grad}_y \Phi(x, y)=-\operatorname{grad}_x \Phi(x, y)$
При этом сменится знак:
$-\int\limits_G \Phi(x, y) \Delta_y u(y) dy=-\int\limits_G \operatorname{grad}_x \Phi(x, y) \cdot\operatorname{grad}_y u(y) dV(y)-...$
Этот знак и потерян. А градиент $\operatorname{grad}_x \Phi(x, y)$ сам по себе у Вас вычислен правильно.

[falazure123]

svv в сообщении #1148149 писал(а):

Мы можем перейти к градиенту $\Phi$ по $x$:
$\operatorname{grad}_y \Phi(x, y)=-\operatorname{grad}_x \Phi(x, y)$

А это из-за чего так?

[svv]

Вот поэтому:

svv в сообщении #1148017 писал(а):

дифференцировать надо не $\Phi$ по компонентам $x-y$, а сложную функцию $u(x, y)=\Phi(f(x,y))$, где $f(x, y)=x-y$, по компонентам $x$ или $y$, в зависимости от ситуации.

Применяется формула производной сложной функции. Вычисление в обоих вариантах (по $x$ и по $y$) совпадает до того места, когда Вам надо будет записать производную от векторной функции $\vec f(\vec x, \vec y)=\vec x-\vec y=\vec e_i(x^i-y^i)$ по $x^k$ либо $y^k$. А дальше:
$\frac{\partial}{\partial x^k}(\vec e_i(x^i-y^i))=\vec e_i\delta^i_k=\vec e_k$, но
$\frac{\partial}{\partial y^k}(\vec e_i(x^i-y^i))=-\vec e_i\delta^i_k=-\vec e_k$
Я надеюсь, суть ясна, даже если Вы привыкли к другим обозначениям.
Я расписал даже слишком подробно, но это только для удостоверения, что всё правильно. Реально этот кусочек проходится в уме и ничего этого не пишется, кроме нужного знака.