Парадокс с полунепрерывностью

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Научился получать из полунепрерывных функций непрерывные, прошу помочь понять, где я ошибаюсь. Идея в том, чтобы добавить к полунепрерывной функции аргумент, по которому она будет линейна и в который можно будет "спрятать минус".

Рассмотрим, к примеру, такую функцию:

$$ f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) := \begin{cases}x, \ x \leq \frac{1}{2} \\ x-1, x > \frac{1}{2} \end{cases} $$

Ясно, что $f$ полунепрерывна сверху в точке $1/2$, но не полунепрерывна снизу в ней.
Рассмотрим теперь функцию

$$ \psi: (0,1) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ \psi(x,u) = u f(x), $$

которая линейна по второму аргументу и полунепрерывна сверху. Пусть теперь $(x_n,u_n)$ есть какая-либо последовательность, сходящаяся к $(1/2,1) \in (0,1) \times \mathbb{R}$. Тогда

$$\liminf_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \liminf_{n\rightarrow \infty} \psi(x_n,u_n) = - \limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1) = \psi(1/2,1) = f(1/2), $$

т. е. $f$ теперь полунепрерывна снизу в точке $1/2$.

[mihaild]

Grabovskiy в сообщении #1147123 писал(а):

$$\limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1)$$

Вот этот переход неверен. $\psi$ полунепрерывна сверху только при $u\geq 0$.

[Grabovskiy]

mihaild в сообщении #1147126 писал(а):

Grabovskiy в сообщении #1147123 писал(а):

$$\limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1)$$

Вот этот переход неверен. $\psi$ полунепрерывна сверху только при $u\geq 0$.

Точно, спасибо!