2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Парадокс с полунепрерывностью
Сообщение28.08.2016, 15:01 
Здравствуйте. Научился получать из полунепрерывных функций непрерывные, прошу помочь понять, где я ошибаюсь. Идея в том, чтобы добавить к полунепрерывной функции аргумент, по которому она будет линейна и в который можно будет "спрятать минус".

Рассмотрим, к примеру, такую функцию:
$$
f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x) := \begin{cases}x, \ x \leq \frac{1}{2} \\ x-1, x > \frac{1}{2} \end{cases}
$$
Ясно, что $f$ полунепрерывна сверху в точке $1/2$, но не полунепрерывна снизу в ней.
Рассмотрим теперь функцию
$$
\psi: (0,1) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ \psi(x,u) = u f(x),
$$
которая линейна по второму аргументу и полунепрерывна сверху. Пусть теперь $(x_n,u_n)$ есть какая-либо последовательность, сходящаяся к $(1/2,1) \in (0,1) \times \mathbb{R}$. Тогда
$$\liminf_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \liminf_{n\rightarrow \infty} \psi(x_n,u_n) = - \limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1) = \psi(1/2,1) = f(1/2), $$
т. е. $f$ теперь полунепрерывна снизу в точке $1/2$.

 
 
 
 Re: Парадокс с полунепрерывностью
Сообщение28.08.2016, 15:19 
Аватара пользователя
Grabovskiy в сообщении #1147123 писал(а):
$$\limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1)$$

Вот этот переход неверен. $\psi$ полунепрерывна сверху только при $u\geq 0$.

 
 
 
 Re: Парадокс с полунепрерывностью
Сообщение28.08.2016, 15:24 
mihaild в сообщении #1147126 писал(а):
Grabovskiy в сообщении #1147123 писал(а):
$$\limsup_{n\rightarrow \infty}\psi(x_n,-u_n) \geq -\psi(1/2,-1)$$

Вот этот переход неверен. $\psi$ полунепрерывна сверху только при $u\geq 0$.


Точно, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group