гипотеза о продолжении ряда

[DeBill]

bayak в сообщении #1146378 писал(а):

квадрат должен уступить место степени $\frac{1}{1-\sigma}$,

При $\sigma$ чуть больше половинки, показатель $1- \sigma$ меньше половинки, так что при $n$ - точном квадрате, число $n^{1-\sigma}$ будет чуть меньше целого. Поэтому то , по сравнению с $\sigma = \frac{1}{2}$, соответствующее слагаемое будет иметь не тот знак....

bayak в сообщении #1146378 писал(а):

Так из формулы ещё надо извлечь число.

Ну, это - безнадега....

[bayak]

DeBill, спасибо за разъяснения - теперь всё понятно.

[bayak]

DeBill, у меня тут вдогонку предложение по исправлению разрывности верхней суммы:

$$\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{\left\lbrace(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}n^{1-\sigma}\right\rbrace}{n}$$

где фигурные скобки означают дробную часть числа, а с учётом знака получается пилообразная функция. Что Вы теперь скажете по вопросу о соответствии с дзетой? Формула хороша тем, что она обобщает случай нижней суммы и не надо его выписывать отдельно, но вот с нулями по-моему перебор.

[bayak]

Пардон, - с учётом корректировки пилообразной функции:

$$\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}\left\lbrace(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}n^{1-\sigma}\right\rbrace}{n}$$

[bayak]

Помогите, пожалуйста, заточить зубья пилы, у которой чётные целые имеют значение $+1$, нечётные целые $-1$, а остальные значения лежат на ломаной линии, соединяющей эти точки. В двух предыдущих постах я какую-то неправильную пилу изобразил.

[arseniiv]

А зачем её через что-то выражать? Сделайте её примитивом и всё. А если не хочется, косинусы-арккосинусы вам в руки.

-- Сб авг 27, 2016 00:29:46 --

Впрочем, выражать ли её в косинусах или дробных частях и модулях, всё равно будет труднопонимаемо без прямого описания. Которое при желании можно «формулизовать» как-то так:

$$\begin{cases} 1-2(x\bmod1), & x\bmod2 < 1, \\ 2(x\bmod1)-1, & x\bmod2\geqslant 1. \end{cases}$$

($x\bmod r \equiv x - \lfloor x/r\rfloor r$.)

Но это фобос и деймос.

[bayak]

arseniiv, спасибо, но я всё же попытаюсь формализовать эту "дзету" по-своему - через угловую координату широты сферы. Итак, окончательный вариант:

$$\zeta(\sigma)=\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{\left\lfloor n^{\frac{1}{2}(1-\sigma)}\right\rfloor}\left\lbrace(-1)^{\left\lfloor 2n^{\frac{1}{2}(1-\sigma)}\right\rfloor}2n^{\frac{1}{2}(1-\sigma)}\right\rbrace^2}{4n}$$

причём

$$\varphi=\frac{\pi(-1)^{\left\lfloor x\right\rfloor}\left\lbrace(-1)^{\left\lfloor 2x\right\rfloor}2x\right\rbrace}{2}$$

где $x$ это длина верёвки, которая имеет начало и наматывается от экватора по долготе сферы в направлении северного полюса и далее по поверхности сферы вплоть до бесконечности.

Эта "дзета" уже намного лучше - она не только совпадает справа от единицы с настоящей дзетой, но и непрерывна слева от единицы и к тому же совпадает с ней на множестве тривиальных нулей. Дело за малым - нащупать нетривиальные нули. В этой связи, коллеги форумчане, какие будут предложения, возражения?