Множество преобразований самого множества.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
Помогите понять насколько законно рассмотрение такого объекта:
Пусть нам дано множество $\Omega$ элементы которого $\omega$ суть есть преобразования исходного множества $\Omega$ : $\omega: \Omega \to \Omega$
Такой рекурсивный объект, например:
$\Omega = \left\lbrace a, b\right\rbrace$, где
$a(a) = a, a (b) = b$
$b(a) = b, b(b) = a$
Существует ли нечто подобное в современной математике, и если да, то как оно называется?
Нечто подобное можно, пожалуй, наблюдать в теории групп, где каждый элемент $\gamma$ группы $\Gamma$ можно рассматривать в связи с преобразованием $f: \Gamma \to \Gamma$, по формуле $g\mapsto \gamma g$

P.S. Вообще изначально в моей голове возник образ множества $\Omega$, каждый элемент которого есть бинарная операция на множестве $\Omega$, к сему образу повторю свой вопрос: изучалось ли это кем-либо?

[alcoholist]

Pulseofmalstrem в сообщении #1146818 писал(а):

Такой рекурсивный объект, например:
$\Omega = \left\lbrace a, b\right\rbrace$, где
$a(a) = a, a (b) = b$
$b(a) = b, b(b) = a$
Существует ли нечто подобное в современной математике, и если да, то как оно называется?

А преобразования $a\mapsto a$, $b\mapsto a$ и $a\mapsto b$, $b\mapsto b$ забыли?
Вообще же мощность множества всех отображений (и даже всех взаимно-однозначных отображений) $\Omega\to\Omega$ строго больше мощности множества $\Omega$, если в нем больше одного элемента.

[arseniiv]

Pulseofmalstrem в сообщении #1146818 писал(а):

Пусть нам дано множество $\Omega$ элементы которого $\omega$ суть есть преобразования исходного множества $\Omega$ : $\omega: \Omega \to \Omega$

Некоторые или все? Если некоторые, то это можно выразить как пару $(A,f)$, где инъекция $f\colon A\to A^A$. Если все, то во многих теориях множеств такой объект построить нельзя. Тех, где выполняется теорема Кантора.

[kp9r4d]

Не знаю, насколько это в тему, но возможно вам имеет смысл узнать про аксиомы антифундирования (их много вариаций, но по духу они похожи), позволяющие образовывать рекурсивные, в каком-то смысле, множества, вроде $x = \{x\}$.

[Pulseofmalstrem]

alcoholist
Конечно, не все. Более того, для прибавления интереса я не исключаю возможности аксиоматического внедрения этим преобразованием разных свойств. Просто интересно сталкивался ли кто из серьезных математиков с идеей рассмотрения таких структур или нет?

[mihaild]

Формально рассматривать такие объекты в $ZF$ запрещает аксиома регулярности, т.к. функция содержит в качестве элементов множества, содержащие элементы области определения. Но на ней свет клином не сошелся.

А чем вас просто бинарное отношение не устраивает? (что нового можно получить, считая функции на множестве его элементами?)

[alcoholist]

Pulseofmalstrem в сообщении #1146818 писал(а):

множества $\Omega$, каждый элемент которого есть бинарная операция на множестве $\Omega$

Почему бы и не проиндексировать какой-то класс операций на множестве элементами самого множества... То есть построить голое отображение $\xi\colon\Omega\to\mathrm{Maps}(\Omega\times\Omega,\Omega)$.
К примеру возьмем $\Omega=\mathbb{R}^3$ и бинарную операцию

$$ \xi(\vec{a})(\vec{v},\vec{u})=\vec{v}\ast_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{(\vec{a},\vec{v}\times\vec{u})}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}. $$

[Pulseofmalstrem]

mihaild
Обосновать пользу этой конструкции чисто математически я не могу, ибо пришел к этой идее отчасти философски. В математической лингвистике господствует синтаксический подход к делу (формальные граматики и все дела), а интересно попробовать подойти к проблема создания модели естественно языка с семантической стороны: то есть говорить о смысле слов, и тогда логично придти к понятию множества всех смыслов данного языка, однако что такое смысл точно определить математике не под силу, поэтому это базовое понятие. Дальше смыслы можно выстраивать в предложения с помощьюразличных операций, и тут встает дилемма:
1) С одной стороны можно ввести эти операции искуственно извне.
2) С другой можно подумать, что операции над смыслами сами могут быть описаны с помощью языка, а значит лежат внутри этого множества, и нужно тогда говорить о множестве, элементы которого суть есть операции на этом множестве. Но все это вода, я не претендую на что-то большое.

-- 26.08.2016, 20:47 --

alcoholist
Ну да так можно, но вопрос в том, рассматривались ли такие структуры в связи с каким-либо вопросом когда-либо?

[alcoholist]

Pulseofmalstrem в сообщении #1146828 писал(а):

рассматривались ли такие структуры в связи

как предмет самостоятельного изучения не вижу
впрочем, на любую операцию $\xi\colon\Omega\to\mathrm{Maps}(\Omega\times\Omega,\Omega)$ можно смотреть как на тернарную операцию $\Omega\times\Omega\times\Omega\to\Omega$

[arseniiv]

Pulseofmalstrem в сообщении #1146828 писал(а):

однако что такое смысл точно определить математике не под силу, поэтому это базовое понятие

Ну прям. Есть же подходы — например, семы (штуки типа фонем и морфем, только для смысла). Правда, я только это слово и знаю.