не L2 сигнал на входе линейной системы

[Arastas]

Добрый день!

Есть скалярная действительная функция времени $u(t)$, где $t>0$. И есть функция $y(t)$, являющаяся решением дифференциального уравнения

$$\frac{d}{dt}y(t) + y(t) = u(t).$$

Известно, что $u(t)$ - ограничена и, к тому же, $u(t)\notin \mathcal{L}_2$, то есть

$$\lim_{t\to\infty}{\int_0^t{u^2(s)ds}}=\infty.$$

Вопрос: можно ли утверждать, что $y(t)$ тоже не $\mathcal{L}_2$, то есть что $\lim_{t\to\infty}{\int_0^t{y^2(s)ds}}=\infty.$

Мои рассуждения.
Решение дифференциального уравнения будет

$$ y(t) = e^{-t}y(0) + \int_0^t{e^{-(t+s)}u(s)ds}.$$

Выкинем пока экспоненциально затухающий член, пусть $y(0)=0$. Тогда у нас останется только интегральный член

$$y(t) = e^{-t}\int_0^t{e^{s}u(s)ds}.$$

Тогда, для ответа на вопрос, нам надо выяснить, правда ли, что при $u(t)\notin \mathcal{L}_2$ интеграл

$$\int_0^\infty{e^{-2t}\left(\int_0^t{e^{s}u(s)ds}\right)^2dt}$$

расходится. Мы знаем, что так как $u(t)$ ограничено, то и $y(t)$ ограничен, но это пока не особо помогает. Если существует какой-то контрпример, то он, вероятно, должен быть для $u(t)\to 0$, и, соответственно, $y(t)\to 0$, но мне не удалось пока его подобрать.

[1r0pb]

Ну если, допустим, управление принадлежит $L_1$, то будет ограниченность решений, т.е. $y(t)\in L_2$.

[Arastas]

1r0pb в сообщении #1146748 писал(а):

допустим, управление принадлежит $L_1$

Нет, такой информации нет.

1r0pb писал(а):

будет ограниченность решений, т.е. $y(t)\in L_2$.

Ограниченность $y(t)$ будет в любом случае, так как ограничен вход $u(t)$. Однако, $y(t)\in \mathcal{L}_2$ отсюда не следует.

[Lia]

Arastas в сообщении #1146761 писал(а):

Однако, $y(t)\in \mathcal{L}_2$ отсюда не следует.

Вы множество не указали. $L_2(\mathbb R)$?

[Arastas]

Ой, да, простите. Всё в действительных числах.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Для контрпримера надо взять что-то вроде $u(t)=\sin(t^2)$. Это колебания постоянной амплитуды, но с растущей частотой. Фишка в том, что рост частоты не мешает интегралу от $u^2(t)$ расходиться, но приводит к убыванию амплитуды $y(t)$, см. график:
Wolfram|Alpha: y'(x)+y(x)=sin(x*x), y(0)=0
Может быть, и получится. Физическая аналогия: подаём на последовательную RL-цепь переменное напряжение постоянной амплитуды, но всё более высокой частоты, амплитуда силы тока будет убывать.

[Arastas]

svv в сообщении #1146865 писал(а):

Для контрпримера надо взять что-то вроде $u(t)=\sin(t^2)$

Да, похоже, что Вы правы. Если я не ошибся в расчётах, то для $y(t)=e^{-t}\sin(e^{t})$ и $\frac{d}{dt}y(t)=\cos(e^{t})-e^{-t}\sin(e^{t})$, откуда $u(t)=\cos(e^t)$. Интеграл квадрата $u(t)$ расходится, а интеграл квадрата $y(t)$ ограничен. Вроде верно. Но это такой специальный класс сигналов $u(t)$ с бесконечно нарастающей производной. А если мы предположим, что $\mathrm{ess}\sup \frac{d}{dt}u(t)$ ограничен, тогда как изменится решение?

[svv]

Arastas в сообщении #1146883 писал(а):

$\mathrm{ess}\sup \frac{d}{dt}u(t)$ ограничен

Разрывы $u(t)$ допускаются? Тогда берём функцию $\operatorname{sign}$ от прошлого контрпримера, получаем функцию, у которой производная почти всюду нулевая, и лишь в счётном множестве точек не существует.

[Arastas]

Да, тоже правильный пример.
1) Как бы мне так сформулировать требования к сигналу $u(t)$, чтобы допускать разрывы (например, меандр), но избежать примера с бесконечно нарастающей частотой?
2) Если допустить, что $\frac{d}{dt}u(t)$ строго ограничена, и в $u(t)$ нет разрывов, достаточно ли этого будет, чтобы утверждать, что интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться?
PS: У меня есть некоторый алгоритм, на вход которого подаётся $u(t)$. Известно, что если интеграл квадрата $u(t)$ расходится, то алгоритм будет работать. Теперь я хочу фильтровать этот входной сигнал и хочу понять, какие дополнительные требования мне надо наложить на сигнал $u(t)$, чтобы на выходе фильтра он тоже был не интегрируем с квадратом.

[svv]

Arastas в сообщении #1147284 писал(а):

2) Если допустить, что $\frac{d}{dt}u(t)$ строго ограничена, и в $u(t)$ нет разрывов, достаточно ли этого будет, чтобы утверждать, что интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться?

Думаю, это требование уже «удушит» возможные контрпримеры, и да, интеграл квадрата $y(t)$ будет расходиться. Надо подумать над доказательством.

[Евгений Машеров]

Чего-то меня на инженерный подход тянет, на использование равенства Парсеваля. Разложим $u(t)$ по частотам, и обратим внимание, что дифур описывает НЧ-фильтр. Вот если мощность в спектре убывает обратно пропорционально частоте, а после НЧ-фильтрации - быстрее, то может $y(t)\in \mathcal{L}_2$ при $u(t)\notin \mathcal{L}_2$

[Arastas]

(тут был вопрос, но я сам на него ответил)