Векторное произведение в Фурье представлении

[Slav-27]

Seergey, а вам всё-таки очень нужен зачем-то интеграл? Я говорил уже, что в нашем случае использовать интеграл Фурье не рекомендуется: он для таких случаев не предназначен и работает плохо и сложно.

Но если всё-таки ОЧЕНЬ хочется, то можно поизвращаться. Для этого замените в этой самой левой части $\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ на усреднение по бесконечному промежутку $\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}$ и измените соответствующим образом правую часть (распишите $A$ и $B$ как интегралы Фурье и посмотрите, что там происходит при усреднении). Если всё аккуратно сделать, то всё-таки получится тот же результат.

[Seergey]

Slav-27 в сообщении #1146280 писал(а):

Seergey
А это, с интегралом, неправильная формула, извините. Там слева должно быть не усреднение по периоду $\frac1T\int\limits_{0}^{T}dt\,A(x,t) B^*(x,t)$, а $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,A(x,t)B^*(x,t)$.

Вообще у функции, от которой брали преобразование Фурье, может и не быть никакого периода, так что и усреднять не по чему. Поэтому если вы хотите усреднить по периоду и у вас есть период, то лучше разлагать в ряд и не морочиться.

Так там и в правой части не получается. Возникает квадрат дельта-функции.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega d\omega=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(\frac12a(e^{-ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{ikz}\delta(\omega+\omega_0))( \frac12a(e^{ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{-ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right\right))d\omega=\frac14a^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}((\delta(\omega-\omega_0)^2+\delta(\omega+\omega_0)^2+e^{-2ikz}\delta(\omega+\omega_0)\delta(\omega-\omega_0)+e^{2ikz}\delta(\omega+\omega_0)\delta(\omega-\omega_0)\right))d\omega$

[Slav-27]

Seergey
Так.

1. Для хороших (быстро убывающих) функций верно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,f(t)g^*(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\omega\,f_\omega g^*_\omega$. (Осторожнее только с коэффициентом, их по-разному выбирают.)

2. У вас функции не хорошие, они вообще на бесконечности в $0$ не обращаются. Ваша волна переносит бесконечно большую суммарную энергию. (Практически так не бывает, энергия обычно конечна, волна затухает.) Поэтому для вашей пары функций левый интеграл расходится. Поэтому это равенство смысла не имеет, и без разницы, что там справа получается (тоже ничего хорошего).

3. Но вам этот расходящийся интеграл и не нужен! Вы хотите посчитать среднюю интенсивность за период. Раз функции периодические, то это всё равно, что средняя интенсивность за всё время. Поэтому для вас важно среднее значение произведения: $\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)$.

4. Вы очень хотите вычислить его через преобразования Фурье. Поэтому пихаем туда $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,e^{i\omega t}f_\omega$ и $g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,e^{i\omega t}g_\omega$:
получаем

$$\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,e^{i\omega t}f_\omega \int\limits_{-\infty}^{\infty}d\chi\,e^{-i\chi t}g^*_\chi$$

$$=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,\iint d\omega d\chi \, e^{i(\omega-\chi)t}f_\omega g^*_\chi$$

$$=\frac{1}{2\pi}\iint d\omega d\chi \, \left(\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\, e^{i(\omega-\chi)t}\right)f_\omega g^*_\chi.$$

5. Теперь смотрим на эту формулу: если бы не было усреднения, тогда интеграл в скобках был бы равен $2\pi\delta(\omega-\chi)$, и мы бы получили ту формулу, которую я написал в начале, т. е. в правой части было бы $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\omega\,f_\omega g^*_\omega$.

6. Но у нас есть усреднение, поэтому то что в скобках равно $1$ при $\omega=\chi$ и $0$, если они не равны -- обозначим это $\delta_{\omega\chi}$. Поэтому искомое усреднение равно

$$\frac{1}{2\pi}\iint \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega d\chi \, \delta_{\omega\chi}\, f_\omega g^*_\chi .$$

7. Осталось подставить туда выражение для $A_\omega$ и $B_\omega$ и посчитать.

8. Только зачем вам оно всё-таки надо?

[Seergey]

1. Уже пробовал по этой формуле для гаусса, прямоугольника все правильно получается, только вот гаусс не хочет в ряд Фурье раскладываться, а прямоугольник может и в интеграл Фурье и в ряд, если его периодически размножить.

Slav-27 в сообщении #1146308 писал(а):

$$=\frac{1}{2\pi}\iint d\omega d\chi \, \left(\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\, e^{i(\omega-\chi)t}\right)f_\omega g^*_\chi.$$

5. Теперь смотрим на эту формулу: если бы не было усреднения, тогда интеграл в скобках был бы равен $2\pi\delta(\omega-\chi)$

$2\pi\delta(\omega-\chi)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dt\, e^{i(\omega-\chi)t}=\lim\limits_{M\to+\infty} \int\limits_{-M}^{M}dt\, e^{i(\omega-\chi)t}$
--
$\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)=$$\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\frac{1}{2\pi}\iint \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega d\chi \, 2\pi\delta(\omega-\chi)\, f_\omega g^*_\chi$

8. Если например из нескольких гармоник сигнал, то сразу видно какие там дельта-функции, а если через ряд Фурье, то там надо ещё смотреть какое $n$ ноль дает, а какое нет или если к куску синусоиды гладко пришиваются экспоненты, то через преобразование Фурье легче сделать.

[Slav-27]

Seergey
Вы написали 3 равенства, из которых все 3 -- неверные. Что с этим делать, я не знаю.

-- 24.08.2016, 19:17 --

И так тоже неверно.

[Seergey]

Вот так вот

[Slav-27]

Теперь самое первое верно, а остальные 2 нет.
Неверность второго увидеть легко, потому что интеграл справа берётся.

[Seergey]

$\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)=\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M} \lim\limits_{M\to+\infty}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)=\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\frac{1}{2\pi}\iint \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega d\chi \, 2\pi\delta(\omega-\chi)\, f_\omega g^*_\chi=\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega\, f_\omega g^*_\omega$

сокращаю $\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}$

$\lim\limits_{M\to+\infty}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)=\int \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega\, f_\omega g^*_\omega$

т.е.
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,f(t)g^*(t)=\int \limits_{-\infty}^{\phantom{+}+\infty} d\omega\, f_\omega g^*_\omega$

[Slav-27]

Чушь какая-то.
Я даже не понимаю, чем вы вообще занимаетесь, поэтому помочь не могу.

Осваивайте математику, без неё никак.

[Seergey]

Вот эта формула

Slav-27 в сообщении #1146308 писал(а):

Для хороших (быстро убывающих) функций верно $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,f(t)g^*(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\omega\,f_\omega g^*_\omega$

должна как-то следовать из

Slav-27 в сообщении #1146308 писал(а):

3. Но вам этот расходящийся интеграл и не нужен! Вы хотите посчитать среднюю интенсивность за период. Раз функции периодические, то это всё равно, что средняя интенсивность за всё время. Поэтому для вас важно среднее значение произведения: $\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,f(t)g^*(t)$
5. если бы не было усреднения, тогда интеграл в скобках был бы равен $2\pi\delta(\omega-\chi)$, и мы бы получили ту формулу, которую я написал в начале, т. е. в правой части было бы $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\omega\,f_\omega g^*_\omega$.

[Slav-27]

"Не было бы усреднения" -- это значит, что вместо

Slav-27 в сообщении #1146308 писал(а):

$$\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{M\to+\infty} \frac1{2M}\int\limits_{-M}^{M}dt\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,e^{i\omega t}f_\omega \int\limits_{-\infty}^{\infty}d\chi\,e^{-i\chi t}g^*_\chi$$

было бы

$$\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,e^{i\omega t}f_\omega \int\limits_{-\infty}^{\infty}d\chi\,e^{-i\chi t}g^*_\chi.$$