Векторное произведение в Фурье представлении

[Seergey]

Дано два векторных поля, зависящих от времени:
$\mathbf{A} = \mathbf{A} \cos(\omega_0 t-k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ и $\mathbf{B}=\mathbf{A} \cos(\omega_0 t- k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{y_0}$

Требуется найти вектор $\mathbf{C}=[\mathbf{A} \times \mathbf{B}]$

Обычный способ:
$\mathbf{C}=[a \cos(\omega_0 t-kz) \mathbf{x_0} \times a \cos(\omega_0 t-kz) \mathbf{y_0}]=a^2 \cos(\omega_0 t-kz)^2 \mathbf{z_0}$
$\overline{\mathbf{C}}=a^2 {\omega_0 \over 2 \pi} \int_0^{2 \pi \over \omega_0} \cos(\omega_0 t-k z)^2 dt \mathbf{z_0}={a^2 \over 2} \mathbf{z_0}$

Если применить Фурье преобразование к векторам $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, после этого найти вектор $\mathbf{C_\omega}$, то как он будет соотносится с усредненным по времени вектором $\mathbf{C}$, полученным без Фурье преобразования. Я ожидаю получить одинаковые результаты, однако они не получаются.

Преобразование Фурье:
$\mathbf{A_\omega}={1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} a \cos(\omega_0 t-kz) e^{i \omega t} dt \mathbf{x_0}={a \over 2} (\delta(\omega+\omega_0)e^{-i k z}+\delta(\omega-\omega_0)e^{i k z})\mathbf{x_0}$
$\mathbf{B_\omega}={1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} a \cos(\omega_0 t-kz) e^{i \omega t} dt \mathbf{y_0}={a \over 2} (\delta(\omega+\omega_0)e^{-i k z}+\delta(\omega-\omega_0)e^{i k z})\mathbf{y_0}$

А как теперь найти $\mathbf{C_{\omega=\omega_0}}$? Оно должно получится так же ${a^2 \over 2} \mathbf{z_0}$ т. к. нет больше гармоник, кроме как $\omega_0$ которые бы дали вклад в векторное произведение. Только вот проблемы с усреднением по времени в мире частот и с дельта-функцией.
Какой смысл имеет запись $\mathbf{C_\omega}={a^2 \over 4} (\delta(\omega+\omega_0)e^{-i k z}+\delta(\omega-\omega_0)e^{i k z})^2 \mathbf{z_0} $?

[Slav-27]

(Оффтоп)

Seergey в сообщении #1143380 писал(а):

$\mathbf{A} = \mathbf{A} \cos(\omega_0 t-k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ и $\mathbf{B}=\mathbf{A} \cos(\omega_0 t- k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{y_0}$

Обозначения страшно конфликтуют друг с другом.

Возможно, я чего-то не понимаю.

Seergey в сообщении #1143380 писал(а):

Если применить Фурье преобразование к векторам $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, после этого найти вектор $\mathbf{C_\omega}$, то как он будет соотносится с усредненным по времени вектором $\mathbf{C}$, полученным без Фурье преобразования. Я ожидаю получить одинаковые результаты, однако они не получаются.

Что такое $\mathbf C_\omega$? Если это фурье-образ $\mathbf C$, то почему вы думаете, что усреднение функции по периоду совпадёт с её фурье-образом?

Seergey в сообщении #1143380 писал(а):

Какой смысл имеет запись $\mathbf{C_\omega}={a^2 \over 4} (\delta(\omega+\omega_0)e^{-i k z}+\delta(\omega-\omega_0)e^{i k z})^2 \mathbf{z_0} $?

Зачем вы перемножили фурье-образы?

[Seergey]

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

(Оффтоп)

Seergey в сообщении #1143380 писал(а):

$\mathbf{A} = \mathbf{A} \cos(\omega_0 t-k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ и $\mathbf{B}=\mathbf{A} \cos(\omega_0 t- k z)=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{y_0}$

Обозначения страшно конфликтуют друг с другом.

Возможно, я чего-то не понимаю.

Можно просто считать, что $\mathbf{A}=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ и $\mathbf{B}=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{y_0}$

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

Seergey в сообщении #1143380 писал(а):

Какой смысл имеет запись $\mathbf{C_\omega}={a^2 \over 4} (\delta(\omega+\omega_0)e^{-i k z}+\delta(\omega-\omega_0)e^{i k z})^2 \mathbf{z_0} $?

Зачем вы перемножили фурье-образы?

это я взял векторное произведение фурье-образов $\mathbf{A_\omega}$ и $\mathbf{B_\omega}$ и получил фурье-образ $\mathbf{C_\omega}$. Нормально, да?

[Slav-27]

Seergey
Вы обозначаете индексом $\omega$ фурье-образ и думаете, что $(\mathbf A \times \mathbf B)_\omega = \mathbf A_\omega \times \mathbf B_\omega$? Тогда не нормально.

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

Что такое $\mathbf C_\omega$? Если это фурье-образ $\mathbf C$, то почему вы думаете, что усреднение функции по периоду совпадёт с её фурье-образом?

[Seergey]

Slav-27 в сообщении #1143405 писал(а):

Seergey
Вы обозначаете индексом $\omega$ фурье-образ и думаете, что $(\mathbf A \times \mathbf B)_\omega = \mathbf A_\omega \times \mathbf B_\omega$? Тогда не нормально.

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

Что такое $\mathbf C_\omega$? Если это фурье-образ $\mathbf C$, то почему вы думаете, что усреднение функции по периоду совпадёт с её фурье-образом?

Кстати да, если сначала сосчитать $\mathbf{C}$, а потом от него взять фурье, то почему-то не совпадает, т.к. получается
$\mathbf{C_\omega}={1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} a^2 \cos^2(\omega_0 t-kz) e^{i \omega t} dt \mathbf{x_0}={a^2 \over 4} (\delta(\omega+2\omega_0)e^{-2i k z}+2\delta(\omega)+\delta(\omega-2\omega_0)e^{2i k z})\mathbf{z_0}$

[Slav-27]

1. Произведение при преобразовании Фурье переходит отнюдь не в произведение, а в свёртку.

2. Ответьте всё-таки, пожалуйста, на этот вопрос:

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

почему вы думаете, что усреднение функции по периоду совпадёт с её фурье-образом?

[Seergey]

Цитата:

2. Ответьте всё-таки, пожалуйста, на этот вопрос:

Slav-27 в сообщении #1143398 писал(а):

почему вы думаете, что усреднение функции по периоду совпадёт с её фурье-образом?

Понимаете ли, это как в комплексных амплитудах, например если сопоставить векторам $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ комплексные амплитуды, то среднее по времени $\mathbf{C}$ легко находится следующим образом: $\overline{\mathbf{C}}$=${1 \over 2} [\mathbf{A} \times \mathbf{B^*}]$

Тоже самое при фурье преобразовании векторов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ коэффициент перед дельта-функциями и есть как бы комплексная амплитуда. Отсюда я рассчитываю получить среднюю по времени вектора $\mathbf{C}$. Только вот проблема: там в фурье-образе $\mathbf{C}$ уже три дельта функции и времени в общем-то уже и нет. У вектора $\mathbf{A}$ коэффициент перед дельта-функцией в два раза меньше соответствующей ей комплексной аплитуде, но и дельта-функций две.

-- 11.08.2016, 21:30 --

Мне удобнее объяснить мою цель вам следующим образом. Не буду скрывать, что вектор $\mathbf{C}$ это фактически вектор Пойнтинга. Если его проинтегрировать по поверхности, то получится интенсивность. Но сумма интенсивностей в спектральном разложении равна общей интенсивности. Сумма интенсивностей по частотам считается через фурье-амплитуды, а обычная - через обычную амплитуду вектора Пойнтинга. Но для монохроматической волны частота одна. Поэтому спектральная интенсивность на этой частоте и, соответственно, её усреднение должно совпадать с полной интенсивностью и её среднем. Тогда значит что усреднение функции (вектора $\mathbf{C}$) по периоду совпадёт с её фурье-образом.

[Slav-27]

Что-то я даже на свежую голову не особо вас понимаю.

У вас $\mathbf C(t)=a^2\mathbf z_0 \cos^2(\omega_0t-kz)$, вы ищете интенсивность, то есть среднее значение модуля, и получаете $\overline{C(t)}=\frac12a^2|\mathbf z_0|$.

Вы можете разложить $\mathbf A$ и $\mathbf B$ по гармоникам:
$\mathbf A=A(x, t)\mathbf x_0 $,
$A(x,t)=a \cos(\omega_0 t-kz)=\frac12a(e^{-ikz}e^{i\omega_0 t}+e^{ikz}e^{-i\omega_0 t})$
(если хотите интеграл, то пожалуйста $\frac12a\int\limits_{-\infty}^{\infty}{d\omega}\, e^{i\omega t} \left(e^{-ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right)$ ), --
так же для $\mathbf B$, и теперь $\overline{|\mathbf A \times \mathbf B|}=|\mathbf z_0|\overline{A(x,t)\cdot B(x,t)}$, ну а дальше $\overline{A(x,t)\cdot B^\ast(x,t)}=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}A_nB^\ast_n=\frac14a^2(1+1)=\frac12a^2$, так что опять-таки получилось $\frac12a^2|\mathbf z_0|$.

-- 12.08.2016, 13:23 --

Опять же, если хотите интеграл: $\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$ $=\frac14a^2\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\, \delta(\omega-\omega_0)+\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,\delta(\omega+\omega_0)\right)=\frac12a^2$.

[Seergey]

Slav-27 в сообщении #1143596 писал(а):

$\overline{A(x,t)\cdot B^\ast(x,t)}=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}A_nB^\ast_n=\frac14a^2(1+1)=\frac12a^2$, так что опять-таки получилось $\frac12a^2|\mathbf z_0|$.

Да, вот это очень близко к тому, что нужно, только я никак не пойму каждое слагаемое $A_nB^\ast_n$ в отдельности это фактически вклад каждой частоты, так? Если бы $A$ и $B$ были на двух частотах ($A=B=\cos(\omega_0 t) (1 + 2 \sin(\omega_0 t))$), то было бы четыре слагаемых?

-- 12.08.2016, 16:43 --

Т. е. вклад каждой частоты это и есть произведение фурье-образов $A_\omega B_\omega^*$ или надо всета-ки проинтегрировать в окресности интересующей частоты только-лишь, чтобы получить настоящую мощность

-- 12.08.2016, 17:14 --

И откуда вообще эта формула $\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$. Обычному произведению $A$ и $B$ вы приравниваете их образы, ведь под интегралом это не обратное фурье, правда?

[Slav-27]

Seergey
Гуглите "равенство Парсеваля", это факт известный.

$A_n$ и $B_n$ -- это коэффициенты разложения функций $A(t)$ и $B(t)$ в ряд Фурье (по функциям $e^{in\omega_0t}$), а $A_\omega$ и $B_\omega$ -- это фурье-образы $A(t)$ и $B(t)$ -- функции $\omega$.

Seergey в сообщении #1143648 писал(а):

$\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$.

В последнем интеграле я пропустил $d\omega$. Обратного преобразования Фурье там нету, черта сверху значит усреднение по периоду, звёздочка -- комплексное сопряжение.

В плоской монохроматической волне $\mathbf E$ и $\mathbf H$ перпендикулярны и колеблются в одинаковой фазе, при этом для световых волн амплитуда $\mathbf H$ пропорциональна амплитуде $\mathbf E$, так что плотность потока энергии пропорциональна $E^2(t)$. Отсюда и из равенства Парсеваля можно получить ваше

Seergey в сообщении #1143414 писал(а):

сумма интенсивностей в спектральном разложении равна общей интенсивности.

-- 12.08.2016, 21:05 --

Я не очень хорошо это всё помню насчёт света, могу где-нибудь провраться, пусть меня поправят, если что.

[Seergey]

Цитата:

Seergey в сообщении #1143648 писал(а):

$\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$.

В последнем интеграле я пропустил $d\omega$. Обратного преобразования Фурье там нету, черта сверху значит усреднение по периоду, звёздочка -- комплексное сопряжение.

Это все понятно. Я имел ввиду, что когда берут разложение в ряд фурье, то когда находят $A_n$ и $B_n$ (коэффициенты по $e^{in\omega_0t}$) то интегрируют по периоду (для периодических функций). А в преобразовании фурье от бесконечности до бесконечности. И сумма заменяется интегралом, но получается, что разницы в этом нет?

-- 12.08.2016, 22:40 --

А вот ещё иногда переходят к комплексным амплитудам. Тогда $\mathbf{A}=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ заменяют на $\mathbf{A}=a e^{i \omega_0 t-i k z} \mathbf{x_0}$, а в конце отбрасывают мнимую часть. далее временную экспоненту не учитывают, а усреднение по времени заменяют модулем амплидуды, делённым на 2. Вот эта самая комплексная амлитуда как-то связана с фурье-амплитудой (она тоже получается комплексной) или это мне кажется?

[Slav-27]

Seergey в сообщении #1143715 писал(а):

А вот ещё иногда переходят к комплексным амплитудам. Тогда $\mathbf{A}=a \cos(\omega_0 t-k z) \mathbf{x_0}$ заменяют на $\mathbf{A}=a e^{i \omega_0 t-i k z} \mathbf{x_0}$, а в конце отбрасывают мнимую часть. далее временную экспоненту не учитывают, а усреднение по времени заменяют модулем амплидуды, делённым на 2. Вот эта самая комплексная амлитуда как-то связана с фурье-амплитудой (она тоже получается комплексной) или это мне кажется?

Если у вас $\mathbf x_0$ не зависит от времени, то нет никакого смысла ни в ряд Фурье разлагать, ни преобразование Фурье делать: функция-то гармоническая, частота одна! Поэтому что с ней ни делай, ничего нового о ней не узнаешь: её ряд Фурье будет состоять из 2 членов (для её частоты и противоположной по знаку -- просто используйте формулу $\operatorname{Re}z=\frac12(z+z^*)$), а преобразование Фурье -- из 2 $\delta$-функций (для тех же 2 частот).

Именно поэтому наша тема довольно странная: я написал, конечно, про равенство Парсеваля, но на самом деле усреднение по периоду через разложение по частотам в вашем случае легко получается и без высшей математики: Записываете каждую гармонику в виде состоящего из 2 членов "комплексного ряда Фурье", раскрываете скобки в их произведении и интегрируете по периоду (учитывая тот факт, что произведение гармоник разных частот при интегрировании по общему периоду зануляется).

Соответственно ничего нового не получится и с амплитудой: ваша функция уже записана в виде вещественного ряда Фурье из 1 члена.

Seergey в сообщении #1143715 писал(а):

Это все понятно. Я имел ввиду, что когда берут разложение в ряд фурье, то когда находят $A_n$ и $B_n$ (коэффициенты по $e^{in\omega_0t}$) то интегрируют по периоду (для периодических функций). А в преобразовании фурье от бесконечности до бесконечности. И сумма заменяется интегралом, но получается, что разницы в этом нет?

Вы что имеете в виду? Разница есть, конечно.

Может быть, что частотный спектр функции дискретен (в частности если сигнал периодический и достаточно хороший, например кусочно гладкий: тогда спектр состоит из частот, целочисленно кратных $\omega=\frac{2\pi}{\text{период}}$). А может быть, что частотный спектр сигнала непрерывен, то есть заполняет сплошь какой-то интервал частот. Для гармоник спектр состоит из 2 (или менее) точек.

Ещё если вас интересует математика, там могут быть всякие хитрые проблемы с областью определения: в ряд Фурье можно разлагать периодические непрерывные кусочно гладкие функции (это условие можно ослабить), преобразование Фурье хорошо работает для быстро убывающих бесконечно гладких функций (а в других случаях может привести к обобщённым функциям и другим странностям).

[Seergey]

Slav-27, спасибо вы очень помогли, а я забыл про правило Парсеваля и пытался найти образ $C$, хотя этого и не нужно как оказалось.

[Seergey]

Slav-27 в сообщении #1143596 писал(а):

Вы можете разложить $\mathbf A$ и $\mathbf B$ по гармоникам:
$A(x,t)=a \cos(\omega_0 t-kz)=\frac12a(e^{-ikz}e^{i\omega_0 t}+e^{ikz}e^{-i\omega_0 t})$
(если хотите интеграл, то пожалуйста $\frac12a\int\limits_{-\infty}^{\infty}{d\omega}\, e^{i\omega t} \left(e^{-ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right)$ ), так же для $\mathbf B$,

если хотите интеграл: $\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$ $=\frac14a^2\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\, \delta(\omega-\omega_0)+\int\limits_{-\infty}^{\infty}d\omega\,\delta(\omega+\omega_0)\right)=\frac12a^2$.

Я все-таки так и не понял одно: как получилось из $\overline{A(x,t)\cdot B^*(x,t)}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega$ при учете что $A_\omega=\frac12a(e^{-ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right)$, а $B^*_\omega=\frac12a(e^{ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{-ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right)$, то под интегралом будет
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}A_\omega B^*_\omega=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(\frac12a(e^{-ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{ikz}\delta(\omega+\omega_0))( \frac12a(e^{ikz}\delta(\omega-\omega_0)+e^{-ikz}\delta(\omega+\omega_0)\right))$ т.е. квадрат дельта-функции возникает?

[Slav-27]

Seergey
А это, с интегралом, неправильная формула, извините. Там слева должно быть не усреднение по периоду $\frac1T\int\limits_{0}^{T}dt\,A(x,t) B^*(x,t)$, а $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}dt\,A(x,t)B^*(x,t)$.

Вообще у функции, от которой брали преобразование Фурье, может и не быть никакого периода, так что и усреднять не по чему. Поэтому если вы хотите усреднить по периоду и у вас есть период, то лучше разлагать в ряд и не морочиться.