Деление на ноль: как найти расстояние от вершины треугольник

[alcoholist]

Рассмотрим треугольник $ABC$ с инцентром (центром вписанной окружности) $I$ и точкой пересечения медиан $M$. Пусть $r$ -- радиус вписанной окружности, $h$ -- длина высоты, опущенной из вершины $A$, $d=IM$ и $l=AI$.
У меня получилась следующая формула

$$l^2(h-4r)^2=h^2r^2+(9d^2-5r^2)(h-2r)^2. $$

Сразу обращает на себя внимание то обстоятельство, что в случае $h=4r$ расстояние между центроидои $M$ и ицентром $I$ определено однозначно, что противоречит интуиции, а про расстояние $l$ вообще ничего сказать нельзя!

В случае равнобедренного треугольника (биссектриса $AI$ лежит на медиане, $d=\left|\frac{h}{3}-r\right|$) данная формула превращается в $l^2(h-4r)^2=(h-4r)^2(h-r)^2$ (собственно, в равнобедренном треугольнике $l=h-r$).

Как же найти $l$, если $h=4r$?

[12d3]

alcoholist в сообщении #1146026 писал(а):

Сразу обращает на себя внимание то обстоятельство, что в случае $h=4r$ расстояние между центроидои $M$ и ицентром $I$ определено однозначно, что противоречит интуиции

Обнаружился занимательный факт. В случае $h=4r$ прямая $IM$ всегда параллельна высоте $h$. В общем, это все странности объясняет. Мы можем двигать как угодно точку $A$ при зафисированной вписанной окружности и прямой, содержащей сторону $BC$ (т.е. $h$ и $r$ фиксированы, а $l$ может меняться), но точка пересечения медиан будет неподвижна!