Тригонометрия:

[SambeR]

Здравствуйте, вот задания которые незнаю как решать:

1. Решить уравнение: $\sin 5x \cos^2 2x =1$

пытался приравнивать каждое по отдельности к единице, но корни не совпадают

2. Найти множество значей функции: $\arcctg(2x+x^2)$

отдельно график арктангенса и параболы я знаю как выглядит,а в общем неясно

3. Найти наибольшее значение функции: $y=2\sin^2 \frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin x$

вообще незнаю как делать..

4. Решить уравнение: $\arccos(\cos x)=x - \frac{3\pi}{2}$

подскажите пожалуста как "Пи" писать правельно в формуле? я написал Pi

5. Известно, что $2\sin x + \cos x = -\sqrt\frac{5}{2}$, $ x \in [-\pi;-\pi/2]$
Найти ctg равный целому числу.

как значок принадлежности ставить?

[Brukvalub]

В № 1 - идея решения - верная, напишите детали, иначе неясно, где ошибка.
В № 2 - воспользуйтесь монотонностью арктангенса.
В № 3 - понизьте степень и воспользуйтесь формулой вспомогательного аргумента.
№ 4 - я бы решал графически.
В № 5 воспользуйтесь формулой вспомогательного аргумента.

[T-Mac]

3) Нужно просто взять производную.
1) Необходимо записать условия в системе
2) $arctg$ возростающая ф-ия, а порабола меняет монотоность 1 раз, исходя из этого можно судить об их композиции.
4)Взять косинус от обеих частей, правда потом нужна проверка.
5)Вопрос не понял, но ясно , что здесь формула доп. аргумента.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

ой пока писал уже ответили

[Алексей К.]

Ответили --- да не всё. $\pi$ = "\pi". А $\alpha$, ежели когда приспичит --- \alpha. Вот ещё красивая буковка --- $\omega$.
Синусы и косинусы у Вас удивительно хороши.

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Принадлежит ($\in$) --- \in .

[SambeR]

Всем спасибо большое, щас буду решать, если чё та не получится, то напишу)

Добавлено спустя 19 минут 17 секунд:

1. вот вообщем как получается:
система: 1) $x=\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5}$
2) совокупность: а) $x=\pi n$
б) $x=\frac{\pi}{2} + \pi n$

Добавлено спустя 46 секунд:

корни не совпадают, где ошибка?

Добавлено спустя 10 минут 58 секунд:

2. ответ в книжке: $(0; \frac{3\pi}{4}]$ пытался графически понять, но так и не понял кроме того, что парабола возрастает от -1 до +бесконечности.

Добавлено спустя 27 минут 37 секунд:

3. понизил степень, нашёл производную: $\sin x - \sqrt{3}\cos x$ , приравнял к нулю, получил экстримум: $x=\frac{\pi}{3} $ подставил его в уравнение, получилось "-1". А в ответах наибольшее =3. Где ошибка?

Добавлено спустя 11 минут 19 секунд:

4. как графически я незнаю, а если брать косинус от обеих частей то получается $-\frac{\pi}{4} + \pi n$ а в ответе $\frac{7\pi}{4}$

Добавлено спустя 9 минут 13 секунд:

5. как именно ей воспользоватся? там ещё больше неизвестных становится ...

[Алексей К.]

SambeR писал(а):

1. вот вообщем как получается:
система: 1) $x=\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5}$
2) совокупность: а) $x=\pi n$
б) $x=\frac{\pi}{2} + \pi n$
корни не совпадают, где ошибка?

Несовпадение не означает ошибку, а может их просто нет?
В данном случае вижу ошибки
1) $x=\frac{\pi}{10} + \dfrac{2!!!m!!!\pi}{5}$
2) $\cos(2x)=\pm 1\quad\Longrightarrow 2x=n\pi$
Надеюсь, сам от голода не наошибался

[Brukvalub]

К № 1: Уравнение равносильно системе

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sin 5x = 1} \\ {\sin 2x = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi n}}{5}} \\ {x = \frac{{\pi k}}{2}} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi n}}{5} = \frac{{\pi k}}{2} \Leftrightarrow \]

\[ 1 + 4n = 5k \]

Последнее равенство выполняется для бесконечного числа n и к .
Назову одну пару: n = 1 , k = 1. Остальные - найдите сами.
Про остальные задачи я уже говорил, но, раз Вы выбрали свои пути их решения - сами и выпутывайтесь

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

К № 1: Уравнение равносильно системе

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sin 5x = 1} \\ {\sin 2x = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi n}}{5}} \\ {x = \frac{{\pi k}}{2}} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi n}}{5} = \frac{{\pi k}}{2} \Leftrightarrow \]

Пардон. Может я, конечно, что-то не понимаю, но, по моему, система будет такая:

$$ \begin{cases} \sin 5x = 1 \\ \sin 2x = \pm 1 \end{cases} $$

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Пардон. Может я, конечно, что-то не понимаю, но, по моему, система будет такая:

$$ \begin{cases} \sin 5x = 1 \\ \sin 2x = \pm 1 \end{cases} $$

Да, судя по этой системе, Вам еще есть, чего подучить в тригонометрии!

[PAV]

Откуда во втором уравнении синус возник? В исходной задаче косинус был.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Пардон. Может я, конечно, что-то не понимаю, но, по моему, система будет такая:

$$ \begin{cases} \sin 5x = 1 \\ \sin 2x = \pm 1 \end{cases} $$

Да, судя по этой системе, Вам еще есть, чего подучить в тригонометрии!

Да ладно, подумаешь, синус с косинусом перепутал

Если модуль косинуса равен $1$, то синус равен $0$. У Вас всё правильно было. Каюсь.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

Откуда во втором уравнении синус возник? В исходной задаче косинус был.

Пока хотел объяснить, Профессор Снэйп уже все рассказал

[Azog]

По четвертой задаче - советую вам расписать что такое $arccos (cos (x))$ ибо это кусочно линейная функция. А дальше дело техники) ихобразите обе части уравнения на графике и т.д.

[T-Mac]

4) по-моему у вас получилосьтоже самое , что в ответе.

[Алексей К.]

SambeR писал(а):

2. Найти множество значей функции: $\arcctg(2x+x^2)$

отдельно график арктангенса и параболы я знаю как выглядит,а в общем неясно

Ну, когда арктангенсу на вход подают числа от $-\infty$ до $+\infty$, он их МОНОТОННО перелопачивает в числа от $-\frac{\pi}{2}$ до $+\frac{\pi}{2}$. "Монотонно" не в том смысле, что он сидит при этом, скучает и зевает, а в том, что если $x_1<x_2$, то это свойство будет перенесено на выход: непременно будет $\arctan x_1< \arctan x_2$ (и раз Вы знаете график арктангенса, Вам это известно). А в Вашем случае ему подали числа от $-1$ до $+\infty$, причём все такие числа (и раз Вы знаете график параболы, Вам это известно). Соответственно, на выходе будут все числа от $\ldots$ до $\ldots$.
Роль монотонности в этом деле полезно осознать. Или уже всё порешалось?