Сходимость среднего членов разложения числа в цепную дробь.

[kotenok gav]

Сходится ли, и если сходится, то к какому числу, среднее геометрическое членов разложения $\sqrt{31}$ в цепную дробь?

[Vince Diesel]

Раз корень квадратный, то цепная дробь периодическая (начиная с какого-то момента). Так что на первый вопрос ответ очевиден. И эту дробь можно выписать явно. А дальше уж ответить на второй.

[kotenok gav]

А как найти эту цепную дробь?

$$\sqrt{31}\approx 5.567764=5+\frac{1}{(\frac{250000}{141941})}=5+\frac{1}{1+\frac{1}{(\frac{141941}{108059})}}$$

$$\frac{141941}{108059}=1+\frac{1}{(\frac{108059}{33882})}$$

Больше членов не могу...

[slavav]

Цепную дробь числа вычисляют по определению. Найдите несколько первых членов цепной дроби самостоятельно. Если вы ошибётесь, вам подскажут где вы ошиблись.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

см. выше + неинформативный заголовок;

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kotenok gav]

А какие члены дальше будут?

[Lia]

kotenok gav
1) Вы полагаете, Вам их тут кто-то будет выписывать?
2) Цепная дробь для иррационального числа и его рационального приближения - это разные дроби.
3) Не знаете, как искать цепные дроби для иррациональных чисел - хотя бы погуглите. Все замечательно ищется. Предполагалось, что Вы именно этим будете заниматься в Карантине, а не придумывать, что написать, чтобы оттуда выйти.
4) Найдете, попробуете применить алгоритм (он достаточно четкий), спросите здесь, правильно ли получается - если останутся вопросы.

[slavav]

kotenok gav в сообщении #1145865 писал(а):

А какие члены дальше будут?

Вы неплохо начали, но сделали две ошибки. Вы заменили точный корень на его рациональное приближение и вы рано остановились.
Вот как надо было:
Шаг 1:

$\sqrt{31} = 5 + (\sqrt{31} - 5) = 5 + \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{31} - 5})}$ ("угадываем" целую часть числа (это 5) и записываем число как непрерывную дробь)

$\frac{1}{\sqrt{31} - 5} = \frac{\sqrt{31} + 5}{(\sqrt{31} + 5)(\sqrt{31} - 5)} = \frac{\sqrt{31} + 5}{31 - 25} = \frac{\sqrt{31} + 5}{6}$ (выносим корень из знаменателя в числитель)

Шаг 2:

$\frac{\sqrt{31} + 5}{6} = 1 + (\frac{\sqrt{31} + 5}{6} - 1) = 1 + \frac{\sqrt{31} - 1}{6} = 1 + \frac{1}{(\frac{6}{\sqrt{31} - 1})}$ ("угадываем" целую часть числа (это 1) и записываем число как непрерывную дробь)

$\frac{6}{\sqrt{31} - 1} = \frac{(\sqrt{31} + 1)6}{(\sqrt{31} + 1)(\sqrt{31} - 1)} = \frac{(\sqrt{31} + 1)6}{31 - 1} = \frac{(\sqrt{31} + 1)6}{30} = \frac{\sqrt{31} + 1}{5}$ (выносим корень из знаменателя в числитель)

Шаг 3:

$\frac{\sqrt{31} + 1}{5} = $ ...

Один тонкий момент - как угадать целую часть числа? Используйте калькулятор для начала. Позже можно будет это сделать более честно.
Попробуйте продолжить шаги. Следите за числами которые получаются в начале каждого шага. Когда они начнут повторяться (это будет скоро), вы нашли цикл.