Рациональные решения уравнения 3 степени

[scwec]

Даны произвольные рациональные числа $N,a$.
Докажите, что найдутся рациональные числа $x,y$, такие, что $\dfrac{y^3-a^3}{x^2-a^2}=N$

[maxmatem]

при $N=a=0$ утверждение очевидно, а при не нулях.....надо подумать...

[12d3]

Если я нигде не обсчитался, то $\displaystyle{x=\frac{a\left(27a^2-36aN+4N^2\right)}{8N^2},\quad y=\frac{a\left(9a-8N\right)}{4N}}$
На эллиптической кривой $y^3-a^3=N(x^2-a^2)$ имеется рациональная точка $P(a;a)$, а координаты точки $-2P$ выписаны выше.

[scwec]

12d3, ответ верный.
Вот ещё решение, которое годится при $4N-3a\ne{0}$
$x=\dfrac{(8N-9a)(-243a^3+324Na^2-144aN^2+64N^3)}{27(4N-3a)^3}$
$y=\dfrac{(81a^3-144aN^2+64N^3)}{9(4N-3a)^2}$