2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональные решения уравнения 3 степени
Сообщение19.08.2016, 14:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2145
Даны произвольные рациональные числа $N,a$.
Докажите, что найдутся рациональные числа $x,y$, такие, что $\dfrac{y^3-a^3}{x^2-a^2}=N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 3 степени
Сообщение19.08.2016, 17:59 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
при $N=a=0$ утверждение очевидно, а при не нулях.....надо подумать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 3 степени
Сообщение19.08.2016, 18:07 
Заслуженный участник


04/03/09
914
Если я нигде не обсчитался, то $\displaystyle{x=\frac{a\left(27a^2-36aN+4N^2\right)}{8N^2},\quad y=\frac{a\left(9a-8N\right)}{4N}}$
На эллиптической кривой $y^3-a^3=N(x^2-a^2)$ имеется рациональная точка $P(a;a)$, а координаты точки $-2P$ выписаны выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные решения уравнения 3 степени
Сообщение19.08.2016, 21:39 
Заслуженный участник


17/09/10
2145
12d3, ответ верный.
Вот ещё решение, которое годится при $4N-3a\ne{0}$
$x=\dfrac{(8N-9a)(-243a^3+324Na^2-144aN^2+64N^3)}{27(4N-3a)^3}$
$y=\dfrac{(81a^3-144aN^2+64N^3)}{9(4N-3a)^2}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group