Нормальные подгруппы и двухлистные накрытия

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144972 писал(а):

По той же логике, если взять линейно связное, универсальное трёхлистное накрытие

Если универсальное накрытие пространства $X$ трехлистно, то $\pi_1(X)\simeq\mathbb{Z}_3$ по любому.

-- Чт авг 18, 2016 19:20:02 --

r00t в сообщении #1144983 писал(а):

вторая ($a^2=e, b^2=e$, не группа симметрий на симплекс-3 как я думал, эта - вообще абелева) пусть будет $G$

Если группа абелева, то это $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, если нет, то это свободное произведение $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$

[r00t]

alcoholist в сообщении #1144986 писал(а):

Если универсальное накрытие пространства $X$ трехлистно, то $\pi_1(X)\simeq\mathbb{Z}_3$ по любому.

Почему? Мне показалось, цитирую, "Если взять накрытие с большим количеством листов (скажем - 3) - фокус не сработает потому, как не все элементы обязаны выполнять $g^{3}=e$ и не обязательно должна получиться именно $\mathbb{Z}_{3}$.". А получается что $\forallg\ g^3=e$.
Чего ж у меня так плохо всё :-/

alcoholist в сообщении #1144986 писал(а):

Если группа абелева, то это $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, если нет, то это свободное произведение $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$

У $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ мощность 4 - не подходит. $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$ тоже не подходит потому, что мощность $\aleph_0$.

Я просто взял множество $G:=\{e,a,b\}$ и определил на нём бинарную операцию (по таблице Кэли), которая выполняет $a^2=e,b^2=e\Rightarrow ab=ba$.
Почему бы этой группе не быть фундаментальной для какого либо пространства $X$?
Из цитаты выше получается что не может. Но почему? Нет возможности построить ориентируемый граф?

[Slav-27]

r00t в сообщении #1144987 писал(а):

Почему?

Потому что нет 3-элементных групп кроме $\mathbb Z_3$.

-- 18.08.2016, 20:43 --

r00t в сообщении #1144987 писал(а):

$\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$ тоже не подходит потому, что мощность $\aleph_0$

Больше.

r00t в сообщении #1144987 писал(а):

Почему бы этой группе не быть фундаментальной для какого либо пространства $X$?

А ей быть. Только универсальное накрытие 3-листным не будет.

[r00t]

Ребята, пардон! Я балбес Допустил ошибку в таблице, там других вариантов на три элемента просто не может быть.
Вопросы выше к alcoholist -у отпали сами собой.

По аналогии если, скажем, фундаментальная группа $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ (которая абелева, если я опять чего не путаю), тогда у нас есть нетривиальные нормальные накрытия по количеству нормальных подгрупп.
Но это понятно.


А как быть с геометрической интерпретацией этих нормальных накрытий и нормальных подгрупп?
Я понимаю что топологию не просто так перевели в фундаментальные группы и занимаются алгеброй, а не рисованием. Но всё же, можно тут выработать какую-то интуицию в геометрии?

$\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$ определяется Хэтчером как все конечные цепочки из $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{Z}_2$. Это же счётное обьединение конечных множеств - счётно.

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144987 писал(а):

$a^2=e,b^2=e\Rightarrow ab=ba$

импликация неверна

Соотношениями $a^2=e,b^2=e,ab=ba$ задается как раз группа Кэли $D_4\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

-- Чт авг 18, 2016 20:01:41 --

r00t в сообщении #1144992 писал(а):

А как быть с геометрической интерпретацией этих нормальных накрытий и нормальных подгрупп?

Так рисуйте! Все же рисуют. Посмотрите на поднятия петель.

[r00t]

alcoholist в сообщении #1144993 писал(а):

r00t в сообщении #1144987 писал(а):

$a^2=e,b^2=e\Rightarrow ab=ba$

импликация неверна

Соотношениями $a^2=e,b^2=e,ab=ba$ задается как раз группа Кэли $D_4\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

Оно верно, но тогда $ab=a,\ ba=a\Rightarrow b=e$ - тут как раз ошибка и была: в таблице было $ea=a$ и $ba=a$.

[Slav-27]

r00t в сообщении #1144992 писал(а):

$\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$ определяется Хэтчером как все конечные цепочки из $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{Z}_2$. Это же счётное обьединение конечных множеств - счётно.

Извините, я наврал, а у вас было правильно.

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144996 писал(а):

Оно верно, но тогда $ab=a,\ ba=a\Rightarrow b=e$ - тут как раз ошибка и была: в таблице было $ea=a$ и $ba=a$.

1) Кто "оно"?
2) когда "тогда"? (любое из равенств $ab=a$ и $ba=a$ влечет $b=e$)
3) где "тут"?
4) в какой таблице?
Уважайте форум, формулируйте ясно.