Нормальные подгруппы и двухлистные накрытия

[r00t]

Разбираюсь в топологии по книге Хэтчера "Algebraic Topology" (конкретно "Covering spaces" даётся с трудом).
Возник такого рода вопрос: пусть $X$ пространство и $(\tilde{X},p)$ его двухлистное накрытие. Как выглядят нормальные подгруппы $\pi_{1}(X)$?

Если я правильно понимаю что там вообще происходит, тогда ответ получается следующим (чисто интуитивно):
Пусть: $p(\tilde{x_{1}})=p(\tilde{x_{2}})=x_{0}$, и пусть $\gamma_{a,b}$ будет классом арок соединяющих $a$ и $b$.
Беру фундаментальную группу $\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x_{1}})$ и получаю:
$p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{1}}) p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x_{1}}))p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2}}^{-1})\trianglelefteq\pi_{1}(X,x_{0})$,

$p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{1}}) p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x_{1}}))p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{1}}^{-1})\trianglelefteq\pi_{1}(X,x_{0})$,

$p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2}}) p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x_{2}}))p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2}}^{-1})\trianglelefteq\pi_{1}(X,x_{0})$,

$p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{2}}) p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X},\tilde{x_{2}}))p_{\ast}(\gamma_{\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{2}}^{-1})\trianglelefteq\pi_{1}(X,x_{0})$

Я в правильном направлении смотрю вообще?
Может есть у кого на примете книга освещающая накрытия с геометрической стороны, для чайников - примеры Хэтчера для меня абсолютно неинтуитивны.

[Slav-27]

r00t
Я правильно понимаю, что ваш вопрос "что можно сказать про нормальные подгруппы $\pi_1(X)$, если известно, что $X$ можно накрыть двулистно"?

Допускаются только линейно связные накрывающие пространства? Если любые, то любое пространство можно накрыть двулистно.

Теперь если $X$ и $\tilde X$ линейно связны: тогда ваши 4 подгруппы одинаковые (кроме первой)... А первая либо вообще не подгруппа (если $ p_*(\gamma^{-1}_{\tilde x_1, \tilde x_2})$\ne 1), либо тоже одинаковая. (Или там опечатка, но всё равно кучу подгрупп вы так не получите.)

r00t в сообщении #1144797 писал(а):

$\gamma_{a,b}$ будет классом арок соединяющих $a$ и $b$.

Наверно, имеется в виду каким-нибудь классом арок.

(Оффтоп)

r00t в сообщении #1144797 писал(а):

по книге Хэтчера "Algebraic Topology"

Он по-русски, кстати, есть, знаете?

r00t в сообщении #1144797 писал(а):

Может есть у кого на примете книга освещающая накрытия с геометрической стороны, для чайников - примеры Хэтчера для меня абсолютно неинтуитивны.

Я не знаю такой. Для школьников хорошая книга есть Болтянский, Ефремович. Наглядная топология -- читали? Про накрытия там, правда, немного.
А что, даже графы неинтуитивны? Там же такая картинка есть интересная про накрытия букета двух окружностей.

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144797 писал(а):

Возник такого рода вопрос: пусть $X$ пространство и $(\tilde{X},p)$ его двухлистное накрытие. Как выглядят нормальные подгруппы $\pi_{1}(X)$?

Ну, про все нормальные подгруппы ничего нельзя сказать. Однако, точно есть нормальная подгруппа индекса 2, см http://dxdy.ru/topic46333.html

[r00t]

Неточно сформулировал. Имелось ввиду $\tilde{X}$ - универсальное двулистное накрытие пространства $X$ (path connected+locally path connected).

То есть, что я могу сказать о нормальных подгруппах $\pi_{1}(X,x_{0})$ зная, что его универасльное накрытие - двухлистное (линейно связное).

Как пример, взял себе $\mathbb{R}P^{2}$. Его универсальное накрытие - $S^{2}$ - двухлистное. Но фундаментальная группа $\mathbb{R}P^{2}$ - просто $\mathbb{Z}_{2}$ - неинтересна :( (нормальных подгрупп там только - тривиальные).
А примеров посложнее построить никак не получается..

Картинка с накрытиями $S^{1}\lor S^{1}$ мне не совсем понятна. Например почему примеры 3 и 4 - не нормальны?
Потому что $b$ это не deck transformation (интуитивно: теряется симметрия если переместить базис точку, из двух колец по бокам получим с одной стороны только одно, а с другой - три)?
Если так, тогда бесконечная цепь таких колец будет нормальным покрытием (смещение точек не повлияет на симметрию из-за бесконечности цепочки)?

Как из этих диаграм я могу извлечь информацию о подгруппах?
Если я правильно понимаю, возьмём диаграму 3 к примеру, $a<b>a^{-1}$ - подгруппа $\pi_{1}(X)$?

(Оффтоп)

Не старался в поисках, сказать ничего не могу. Пока сижу с книгами Hatcher и Massey

alcoholist в сообщении #1144838 писал(а):

Ну, про все нормальные подгруппы ничего нельзя сказать. Однако, точно есть нормальная подгруппа индекса 2, см http://dxdy.ru/topic46333.html

В том и дело: стараюсь выработать какую-то интуицию в топологии, потому чистую алгебру пока отбрасываю (под "чистой алгеброй" подразумеваю голое доказательство из теории групп, например).

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144839 писал(а):

Но фундаментальная группа $\mathbb{R}P^{2}$ - просто $\mathbb{Z}_{2}$ - неинтересна

А только она и получается

[r00t]

alcoholist в сообщении #1144841 писал(а):

r00t в сообщении #1144839 писал(а):

Но фундаментальная группа $\mathbb{R}P^{2}$ - просто $\mathbb{Z}_{2}$ - неинтересна

А только она и получается

Для конкретного примера ($\mathbb{R}P^{2}$ и $S^{2}$) - да. А вот примеры посложней я себе сконструировать не смог, обобщить как-то не могу.

Вообще, есть ли смысл искать геометрические пути решения проблемы с нормальными подгруппами, или всё же нужен алгебраический подход, то бишь: вычисляем фундаментальную группу -> находим нормальные подгруппы -> для каждой нормальной подгруппы конструируем подходящее накрытие из универсального?

[Slav-27]

r00t
Не получится тут ничего кроме $\mathbb Z_2$.

Ни в каком примере.

(Оффтоп)

Про картинку я вам (сегодня) ничего не скажу, её надо доставать и рассматривать, а мне сейчас не до того. Но она всё-таки довольно наглядная, насколько я помню.

[r00t]

Slav-27 в сообщении #1144846 писал(а):

r00t
Не получится тут ничего кроме $\mathbb Z_2$.

-- 17.08.2016, 23:23 --

Ни в каком примере.

Разбираюсь почему:
Пусть $(\tilde{X},p)$ - универсальное двухлистное накрытие $X$.
Предположим (не вижу обьяснения почему этого не может быть) у нас есть несколько классов: $\gamma_{\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}}$, являющихся deck transformations (то бишь, переводят точку в точку и сохраняют при этом первоначальную симметрию).
Если взять все классы - получим универсальное накрытие.
Если отбросим один класс - получим нормальное накрытие (всё ещё есть deck transformation, значит накрытие - нормальное), следовательно - $p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X_{H}}))$ - нормальная подгруппа $\pi_{1}(X)$.

То есть, почему не может быть больше двух нормальных подгрупп?
Потому, что не может быть больше одного класса $\gamma_{\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}}$, являющегося deck transformation, или потому, что отбрасывая один класс (значит и все элементы группы с ним) - получим только тривиальную подгруппу?


Тема сидит совсем поверхностно. Хочу понять как оно работает, потому критикуйте, обьясняйте, гоните по учебникам. Только чтоб с конструктивом.

P.S. Касательно картинки, непонятные моменты я описал выше. Когда будет возможность - прокомментируйте, пожалуйста.

[alcoholist]

r00t в сообщении #1144848 писал(а):

Пусть $(\tilde{X},p)$ - универсальное двухлистное накрытие $X$.
Предположим (не вижу обьяснения почему этого не может быть) у нас есть несколько классов: $\gamma_{\tilde{x}_{0},\tilde{x}_{1}}$, являющихся deck transformations (то бишь, переводят точку в точку и сохраняют при этом первоначальную симметрию).
Если взять все классы - получим универсальное накрытие.
Если отбросим один класс - получим нормальное накрытие (всё ещё есть deck transformation, значит накрытие - нормальное), следовательно - $p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X_{H}}))$ - нормальная подгруппа $\pi_{1}(X)$.

Ничего не понял(((

Следующая конструкция известна как каноническое действие фундаментальной группы на универсальном накрывающем (те самые deck transformations). Пусть $x\in\tilde{X}$ -- некоторая точка. Фундаментальная группа $\pi_1(X,p(x))$ каноническим образом действует на универсальном накрывающем $\tilde{X}$. Действительно, пусть $a\in \tilde{X}$, $g\in \pi_1(X,p(x))$ и $\mu\colon [0;1]\to X$ -- петля, представляющая элемент $g\in \pi_1(X,p(x))$. В силу односвязности $\tilde{X}$ все пути из $a$ в $x$ гомотопны (с закрепленными концами). Если $\mu\colon [0;1]\to\tilde{X}$ -- такой путь, то можно рассмотреть петлю $p(\gamma^{-1})\cdot\mu \cdot p(\gamma)$ в точке $p(a)\in X$. Такая петля имеет единственное поднятие $\Gamma\colon [0;1]$ с началом в точке $a\in\tilde{X}$, то есть $\Gamma(0)=a$ и $p\circ\Gamma =p(\gamma^{-1})\cdot\mu \cdot p(\gamma)$.
Положим $g(a)=\Gamma(1)$. Докажите, что это определение корректно и что $\Gamma(1)$ не зависит от $x\in\tilde{X}$. Заметим, что для любого неединичного элемента $g\in \pi_1(X,p(x))$ и для любой точки $a$ выполнено $g(a)\ne a$.
Теперь предположим, что накрытие двулистно. В силу того, что $a$ и $g(a)$ сидят на одном листе $p^{-1}(p(a))$, получим $g^2(a)=a$, откуда $g^2=e$.

-- Ср авг 17, 2016 23:20:45 --

r00t в сообщении #1144848 писал(а):

следовательно - $p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X_{H}}))$ - нормальная подгруппа $\pi_{1}(X)$.

так весь пафос в том, что $\pi_{1}(\tilde{X})$ тривиальна в силу универсальности накрытия

[Slav-27]

Вообще индекс подгруппы равен числу листов реализующего её накрытия, поэтому порядок фундаментальной группы равен числу листов универсального накрытия.

[r00t]

alcoholist в сообщении #1144852 писал(а):

Положим $g(a)=\Gamma(1)$. Докажите, что это определение корректно и что $\Gamma(1)$ не зависит от $x\in\tilde{X}$.

Доказываю независимость от $x$:
Пусть $\gamma_{i}$ идёт из $a$ в $x_{i}$ для $i\in\{1,2\}$, пусть $p(x_{1})=p(x_{2})$.
$\tilde{X}$ универсальное накрытие, значит $\gamma_{1}\simeq\gamma_{2}$ - гомотопны. Но тогда и $p(\gamma_{1})\simeq p(\gamma_{2})\ \Rightarrow\ p(\gamma_{1}^{-1})\mu p(\gamma_{1})\simeq p(\gamma_{2}^{-1})\mu p(\gamma_{2})$
для любой петли $\mu$ из класса $g\in\pi_{1}(X,p(x))$.
Получаем: $p(\gamma_{1}^{-1})\mu p(\gamma_{1})$ и $p(\gamma_{2}^{-1})\mu p(\gamma_{2})$ принадлежат тому же классу в $\pi_1(X,p(a))$ и, если $\Gamma_{i}$ подьем петли $p(\gamma_{i}^{-1})\mu p(\gamma_{i})$, то
$\Gamma_{1}\simeq\Gamma_{2}\Rightarrow\Gamma_{1}(1)=g(a)=\Gamma_{2}(1)$.

Доказываю что действие определено корректно:
Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ принадлежат классу $g\in\pi_{1}(X,p(x))$, но тогда $p(\gamma^{-1})\mu_{1}p(\gamma)\simeq p(\gamma^{-1})\mu_{2}p(\gamma)$, а значит $\Gamma_{1}\simeq\Gamma_{2}$ и потому $\Gamma_{1}(1)=\Gamma_{2}(1)$.

alcoholist в сообщении #1144852 писал(а):

Заметим, что для любого неединичного элемента $g\in \pi_1(X,p(x))$ и для любой точки $a$ выполнено $g(a)\ne a$.

Как я понимаю, это из-за того, что $g(a)\neq a$: если взять не нульгомотопную петлю, тогда $g(a)=a_{2}$ (так, как $a$ он быть не может), но тогда и $gg(a)\neq a_{2}\Rightarrow gg(a)=a$ - нет другого выбора. Отсюда получаем $g^{2}(a)=a\Rightarrow g^2=e$.
Если взять накрытие с большим количеством листов (скажем - 3) - фокус не сработает потому, как не все элементы обязаны выполнять $g^{3}=e$ и не обязательно должна получиться именно $\mathbb{Z}_{3}$.
То есть, тут двухлистность - критична.

alcoholist в сообщении #1144852 писал(а):

Теперь предположим, что накрытие двулистно. В силу того, что $a$ и $g(a)$ сидят на одном листе $p^{-1}(p(a))$, получим $g^2(a)=a$, откуда $g^2=e$.

Я не понял этот переход. Похоже что:
$p(g(a))=p(\Gamma(1))\ \Rightarrow\ p(g(a))=p(a)\ \Rightarrow\ p^{-1}p(g(a))=p^{-1}p(a)$
Почему третий шаг правильный? Потому, что я поднимаю одну и ту же точку $p(g(a))=p(a)$ и потому прообраз - один?

r00t в сообщении #1144848 писал(а):

следовательно - $p_{\ast}(\pi_{1}(\tilde{X_{H}}))$ - нормальная подгруппа $\pi_{1}(X)$.

так весь пафос в том, что $\pi_{1}(\tilde{X})$ тривиальна в силу универсальности накрытия[/quote]
Моя вина - не дал определение $\tilde{X}_{H}$:
$\tilde{X}_{H}:=\frac{\tilde{X}}{\sim}\ :\ \gamma_{1}\sim\gamma_{2}\Leftrightarrow\ \gamma_{1}(1)=\gamma_{2}(1)\land [\gamma_{1}\gamma_{2}^{-1}]\in H\leq\pi_{1}(X)$

Slav-27 в сообщении #1144903 писал(а):

Вообще индекс подгруппы равен числу листов реализующего её накрытия, поэтому порядок фундаментальной группы равен числу листов универсального накрытия.

Не спорю, количество косетов соответствует количеству прообразов $x\in X$, но что мне это даёт в данном вопросе?

[Slav-27]

r00t
Ну дык! Если у тривиальной подгруппы индекс 2 -- значит сколько всего элементов в $\pi_1(X)$?

(Оффтоп)

Косет по-русски смежный класс.

[r00t]

Slav-27 в сообщении #1144944 писал(а):

r00t
Ну дык! Если у тривиальной подгруппы индекс 2 -- значит сколько всего элементов в $\pi_1(X)$?

(Оффтоп)

Косет по-русски смежный класс.

Таки два :)
Тривиальная группа - нормальна, косеты (теорию групп учил по Даммиту - привык) - определены, индекс 2 дан, значит и элементов тоже два. Единственная подходящая группа - $\mathbb{Z}_{2}$.

По той же логике, если взять линейно связное, универсальное трёхлистное накрытие, получим три смежных класса у тривиальной подгруппы; следовательно и элементов тоже три. Возможные варианты группы - $\mathbb{Z}_{3}$ и группа симметрий на симплекс-3. В первом случае нетривиальных нормальных подгрупп нет потому, что любой $g\in\mathbb{Z}_3$ порождает всю группу. Во втором нетривиальных нормальных подгрупп нет потому, что центр тривиален.

Из теоремы (А. Хэтчер "Algebraic Topology", стр. 71)
Let $p:(\tilde{X},\tilde{x}_0)\longrightarrow(X,x_0)$ be a path-connected covering space of the path-connected, locally path-connected space $X$, and let $H$ be subgroup $p_\ast(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}_0))\subset\pi_1(X,x_0)$. Then:
(a) this covering space is normal iff $H$ is a normal subgroup of $\pi_1(X,x_0)$.
следует что у $X$ нет нормальных трёхлистных накрытий кроме тривиального.

Что это значит?
Из определения, накрытие нормально если для каждой пары $x_1,x_2\in\tilde{X}$ есть deck transformation.
То есть, если у $X$ нет нетривиальных нормальных накрытий, то все deck transformations гомотопны (точнее, гомотопны $\Gamma$ из примера выше)?

(Оффтоп)

Как по-русски принято называть deck transformation?

[Slav-27]

r00t в сообщении #1144972 писал(а):

элементов тоже три. Возможные варианты группы - $\mathbb{Z}_{3}$ и группа симметрий на симплекс-3.

Я не знаю, что такое второе, но это тоже $\mathbb Z_3$.

r00t в сообщении #1144972 писал(а):

нет нормальных трёхлистных накрытий кроме тривиального

Какого ещё тривиального?

r00t в сообщении #1144972 писал(а):

Что это значит?
Из определения, накрытие нормально если для каждой пары $x_1,x_2\in\tilde{X}$ есть deck transformation.
То есть, если у $X$ нет нетривиальных нормальных накрытий, то все deck transformations гомотопны (точнее, гомотопны $\Gamma$ из примера выше)?

Не очень понял. Что значит? Капитан говорит, что если у $X$ нету нетривиальных нормальных накрытий, значит у всех нетривиально накрывающих пространств есть пара точек, для которой нету deck transformation (по-русски это "преобразование накрытия"). Или (для случая хорошего пространства) в фундаментальной группе нету нормальных подгрупп.

[r00t]

Для трёх элементов можно построить две разных таблицы Кэли, одна из них ($a^2=b,\ b^2=a$) подходит группе $\mathbb{Z}_3$, вторая ($a^2=e, b^2=e$, не группа симметрий на симплекс-3 как я думал, эта - вообще абелева) пусть будет $G$.
Во втором случае $\{a\},\{b\}$ нетривиальные нормальные подгруппы группы $G$.
То есть (с учётом ошибки с определением группы в предыдущем сообщении), получаем для трёхлистного накрытия могут быть разные варианты для группы преобразований накрытия. Жаль, ну да ладно.

Касательно Хэтчера, в процитированной теореме стоит iff. Из неё, для фундаментальной группы $\mathbb{Z}_3$, сделал вывод: "раз нет нормальных нетривиальных подгрупп, значит нет нетривиальных нормальных накрытий (под тривиальным нормальным накрытием я подразумеваю универсальное). Раз нет нетривиальных нормальных накрытий, значит есть только один способ соединить каждую пару $x_1,x_2\in\tilde{X}$ с точностью до гомотопии. То есть, если $g(a)=b\in\tilde{X}$ то другую группу преобразований, в которой $g(a)=c$ я построить уже не смогу.

(подразумевается что $X$ - path-connected, locally path-connected space. Не пишу, чтоб не раздувать текст)

-- 18.08.2016, 18:13 --

Под "нормальным накрытием" я себе понимаю накрытие, в котором для каждой пары точек есть как минимум один класс кривых, точки соединяющих и сохраняющих симметрию. То есть, если $\gamma\in\tilde{X}$ кривая из такого класса, то $\gamma(0)=x_1,\gamma(1)=x_2$ и $p\gamma=p$
Если таких классов для одной пары больше одного - тогда есть у фундаментальной группы нетривиальные нормальные подгруппы, если для каждой пары класс всего один, тогда единственное нормальное накрытие - универсальное.