Упрощённые способы умножения, деления и т.п.

[A.Edem]

Раз уж заговорили о способах умножения, решил открыть тему, где каждый желающий мог бы выложить известные ему более лёгкие, чем широко известные, приёмы действий с числами, которые могли бы пригодится в быту или на практике.
Помню, в школьные годы любил математику и перемножать в уме большие числа. Даже вывел для себя несколько универсальных методов для быстрого подсчёта. Среди них были: как легко умножить числа, оканчивающиеся на 5, 6, 7, 8 или 9; как перемножать в уме двух- трёхзначные числа; и т.д. Сейчас попробую восстановить в памяти хотя бы один из своих приёмов.
Допустим, перед нами два числа:
23 и 26. Необходимо из перемножить. Тут всё очень просто и без заморочек, т.к. цифры в десятках у них о одинаковые (2-ки).
Значит, перемножаем отдельно десятки и единицы: $2\cdot 2=4\;$; $3\cdot 6=18$. Записываем в ряд:
418.
Теперь перемножаем десятки с единицами, и сложив их - $2\cdot 3 +2\cdot 6 = 18 $, - записываем под полученным выше числом таким образом:
418
+
18
=
598.
Это и будет ответом.
А если же перемножаются числа с разными десятками, то во втором действии необходимо будет перемножать десятки одного числа с единицами другого. Например, необходимо умножить 41 на 23. Первое действие обычное: умножаем 4 на 2, и 1 на 3. Записываем результат: 803.
Второе действие - $4\cdot 3+1\cdot 2 = 14$. Теперь записываем данный результат под предыдущим:
803
+
14
=
943.
При особой сноровке (у людей, которые могут держать в воображении перед собой несколько чисел, и производить над ними подобные операции) можно научиться довольно-таки быстро выдавать ответы на такого рода примеры. По крайней мере, у меня это получалось, и сейчас получается (просто редко приходится считать, поэтому и забываются эти способы быстрого счёта).
Если честно, то даже не знаю, известный ли это приём, или лишь я его придумал и применял только..
А также очень хотелось бы вспомнить, как можно без калькулятора высчитать квадратный корень любого числа. Один из учителей нам как-то в школе это метод показал однажды, но я его позабыл, к сожалению.

[Metford]

A.Edem в сообщении #1144956 писал(а):

А также очень хотелось бы вспомнить, как можно без калькулятора высчитать квадратный корень любого числа

Не знаю насчёт квадратного, но кубический корень извлекается достаточно просто (если исходное число - точный куб). И вообще корни нечётной степени нормально извлекаются.

[rockclimber]

A.Edem в сообщении #1144956 писал(а):

А также очень хотелось бы вспомнить, как можно без калькулятора высчитать квадратный корень любого числа.

Я этот способ знаю и даже хотел написать, но очень быстро обнаружил, что гораздо проще вбить в гугл "квадратный корень в столбик" и дать ссылку... Но ссылку вставлять тоже лень, уж с такой-то операцией каждый справится

[A.Edem]

rockclimber, спасибо! Это действительно тот метод, какой я подразумевал.

[Metford]

rockclimber в сообщении #1144995 писал(а):

гораздо проще вбить в гугл "квадратный корень в столбик" и дать ссылку... Но ссылку вставлять тоже лень

Да... Вот так и будет со временем: на любой вопрос будут посылать давать ссылку. Праздник живого общения

Давайте и я тогда пошлю дам ссылку, правда, на книгу: Катлер Э., Мак-Шейн Р. - "Система быстрого счета по Трахтенбергу". Там и извлечение корня тоже есть.

[A.Edem]

Metford, вот-вот!
Открывая эту тему, я предполагал, что (позабыв названия книжек, что Перельман написал такой да такой способ счёта) здешняя аудитория с задушевной ностальгией и теплотой начнут свои речи примерно такими словами: "Помню, мол, де, как-то один мой старый учитель математики по секрету рассказал один интереснейший метод быстрого умножения в уме!.. Сейчас вам поведаю.."; или " Знаю, откуда не знаю, как можно легко делить какие угодно большие числа!.. То ли это один мой знакомый сэнсэй мне рассказал, то ли вычитал однажды из ветхой запылённой книжки - не в том суть - слушайте!.. ".
В такой добротной атмосфере обсуждения были бы и впрямь намного увлекательней.

[Metford]

Ладно, по просьбе трудящегося - практически в требуемом стиле...

Рассказал мне как-то давно коллега метод извлечения кубических корней... "Значит, делается это примерно так": берём к примеру число $110592$. Отделяем от хвоста три цифры и видим, что оставшееся число $110$ находится между $64=4^3$ и $125=5^3$. Поэтому первая цифра в кубическом корне есть $4$. Вторая цифра достаётся ещё дешевле. Вспоминаем, что на двойку заканчивается куб восьми. Итого результат $\sqrt[3]{110592}=48$.

И ещё раз алгоритм. Отделяем три цифры с конца, находим между какими двумя кубами находится оставшееся, за первую цифру принимаем меньшее число. Вторая цифра определяется по тому, на какую цифру заканчивается исходное число. Ещё пример:

$$389017\to 389'017\to (7^3=343<389<512=8^3; 3^3=27)\to \sqrt[3]{389017}=73.$$

Почему метод не работает так легко для квадратных корней: потому что вторая цифра однозначно не определится в силу того, что на одну и ту же цифру заканчивается не один квадрат. Зато для корней нечётной степени всё путём.

[A.Edem]

Metford, прекрасно! О таком приёме лично я раньше не слышал.

[rockclimber]

A.Edem в сообщении #1145030 писал(а):

здешняя аудитория с задушевной ностальгией и теплотой начнут свои речи примерно такими словами: "Помню, мол, де, как-то один мой старый учитель математики по секрету рассказал один интереснейший метод быстрого умножения в уме!.. Сейчас вам поведаю..";

Запросто!

(Помню, де, как-то один мой старый учитель математики...)

Дело было в шестом классе (92-й год примерно). Не помню, с чего началось, помню, что учительница математики после урока спросила меня, знаю ли я, как считать квадратный корень без калькулятора. Я сказал, что нет. Она пообещала принести книжку. Через пару дней принесла, показала нужную главу. Там было три способа: первый - это тот, который легко гуглится. Второй - не помню, но вроде сложнее. Третий предварялся таким условием: "этот способ применим только к числам, которые можно рассчитать по формуле ..." и далее шла трехэтажная формула, посмотрев на которую я понял, что этот способ нафиг никому ни для чего не нужен, кроме как поумничать лишний раз.
С учетом того, что калькуляторы о ту пору были больше роскошью, чем средством передвижения по учебным задачам, навык казался полезным в будущем. Ну и кстати поумничать тоже годился - в школе же этому никого не учили
P. S. Вспомнил, с чего началось! Отец сказал, что его в школе этому учили, но он забыл, и попросил спросить у учительницы - знает ли она? Учительница сказала, что не знает, но у нее есть книжка, в которой это есть. Вообще, ситуация довольно странная, ибо мой отец и учительница были примерно одного возраста, но отец учится в сельской школе, а учительница - не знаю в какой, но еще как минимум педвуз должна была закончить, а раз математику преподает, так наверно и интересоваться должна была математикой чуть больше среднего...

Только вы ж не это спрашивали, а сам способ. А способ вот он, в гугле на первой строчке. Чего зря лишний раз кнопки нажимать?

[Metford]

(Оффтоп)

rockclimber в сообщении #1145050 писал(а):

учительница - не знаю в какой, но еще как минимум педвуз должна была закончить, а раз математику преподает, так наверно и интересоваться должна была математикой чуть больше среднего...

Должна значит... Мне лично довелось слышать от учительницы на уроке рассказ, как она получила в таковом ВУЗе четыре, затруднившись на экзамене наглядно проинтерпретировать равенство нулю дискриминанта квадратного уравнения. Радуюсь, что не пришлось всю среднюю школу у неё учиться.

Она, кстати, похоже не только математику знала не ахти, ибо кто ж такие вещи ученикам-то говорит?..

[rockclimber]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1145055 писал(а):

Она, кстати, похоже не только математику знала не ахти, ибо кто ж такие вещи ученикам-то говорит?..

Ничего не могу сказать о ее квалификации как учителя. На все остальные мои уточняющие вопросы она отвечала вроде.

[Metford]

(Оффтоп)

rockclimber в сообщении #1145058 писал(а):

Ничего не могу сказать о ее квалификации как учителя. На все остальные мои уточняющие вопросы она отвечала вроде.

Ничем не хотел запятнать репутацию Вашей учительницы. Так - воспоминание о тяжёлой математической юности...

Но вернёмся к теме. Вообще, A.Edem, должен сказать, что, хотя пару-тройку методов я и знаю, но пользоваться ими доводится исключительно, чтобы "фокусы" показывать. А в основном всё быстро прикидывается приближённо - абсолютно всё.

[A.Edem]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1145063 писал(а):

должен сказать, что, хотя пару-тройку методов я и знаю, но пользоваться ими доводится исключительно, чтобы "фокусы" показывать.

Наш учитель математики подобные "фокусы" буквально принуждал показывать почти на каждом уроке, запрещая приносить и пользоваться калькуляторами. Если вдруг в какой-либо задаче необходимо было перемножить 55 на 135, он тут же в тоне минисоревнования говорил: "Кто из вас, ребята, быстрее всех перемножит эти числа в голове?!". И поэтому однажды я засел за анализ разных примеров, и обнаружив некоторые закономерности, вывел для себя несколько упрощенных методов счёта.
Вспомнил, кстати, как я перемножал числа, оканчивающиеся на "5".

Итак, метод с пятёрками.
Допустим, необходимо умножить 65 на 85.
Сперва умножаем десятку меньшего числа (6) на десятку плюс единицу (8+1) большего числа. Получаем 54. Затем из десятки большего числа вычитаем десятку меньшего числа (8-6). Если в результате получилось чётное число (значит, в конце искомого числа подряд будут идти цифры 2 и 5), то просто делим полученное число пополам (в нашем случае 2 делим на 2), и прибавляем к частному найденное раньше 54. Теперь записываем ответ: 5525.
Если же число было нечётным при отнимании - к примеру, перемножались 35 и 85, - то из данного нечётного числа вычитаем единицу (при этом также это означает, что в конце искомого числа будут подряд идти цифры 7 и 5), а затем как и в предыдущем примере делим результат пополам. То есть тут получилось бы при умножении 3 на 9 - 27. Затем к ней мы бы прибавили 2 ((5-1)/2). И ответ записали бы так: 2975.
Представляю, многим сперва кажется, что это очень громоздкий способ, но разобравшись в нём, можно заметить, что таким образом вам будет уже легче перемножить упомянутые 55 на 135. Конечно же, перемножить так 665 на 975 будет нелегко. Тут необходим будет комплекс приёмов. Мною их было обнаружено очень много, некоторые из них, полагаю, используются невольно и другими людьми (до того они мне кажутся простыми и обыденными), как, к примеру, округление чисел. Это если вдруг необходимо умножить 78 на 90. Округляем 78 до 80 и умножаем на 90, а затем из результата вычитам 180. Итого 7020.
Если вдруг вспомню, как я быстро перемножал трёхзначные числа, то непременно тут напишу (пока одна нестыковка не улаживается).

[Sonic86]

Корни очень быстро считаются методом Ньютона для соотв-их функций, причем для квадратного корня получается еще и вдобавок и подходящие дроби, что вообще прелестно.
А единственное реально быстро умножение - это умножение Карацубы (с преобразованием Фурье впридачу)

[Metford]

A.Edem в сообщении #1145147 писал(а):

в тоне минисоревнования говорил: "Кто из вас, ребята, быстрее всех перемножит эти числа в голове?!"

На меня такие методы всегда действовали одинаково: голова моментально отключалась. По двум причинам: во-первых, спешка нужна только при ловле блох; во-вторых, в подобных упражнениях никогда не видел смысла. Именно говорю достаточно обобщённо, потому что (к счастью) серьёзным вещам так не учат. Никогда не сталкивался с постановкой задачи "а кто быстрее решит диффур/вычислит интеграл и т.п." Счёт в уме, когда он не выходит за разумные пределы, особых ухищрений не требует, а когда выходит за разумные пределы - превращается в фокусы