простые делители числа

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Решаю в натуральных числах уравнение: $n^{k+1} - n! = 5(30k+11) $ и возник вопрос: может ли число $ 5(30k+11) $ иметь простые делители меньшие $5$ ? Т.е. собственно, как доказать, что $ (30k+11) $ имеет делители больше $5$?
Правильно ли понимаю, что при делении числа $ (30k+11) = 2 \cdot 5 \cdot (3k+1) + 1 $ на $5$ в остатке всегда будем получать $1$ ?

[NSKuber]

$30k$ делится на простые числа, не превосходящие пяти? А $11$? А их сумма тогда делится?

[Stensen]

NSKuber в сообщении #1144526 писал(а):

$30k$ делится на простые числа, не превосходящие пяти? А $11$? А их сумма тогда делится?

Вы так быстро ответили, что я не успел отредактировать свой пост. В общем понял. Чтобы сумма делилась, необходимо чтобы делилось каждое слагаемое.

Гранд сенкс.

[NSKuber]

Stensen в сообщении #1144529 писал(а):

Правильно ли понимаю, что при делении числа $ (30k+11) = 2 \cdot 5 \cdot (3k+1) + 1 $ на $5$ в остатке всегда будем получать $1$ ?

Правильно.

Stensen в сообщении #1144529 писал(а):

Чтобы сумма делилась, необходимо чтобы делилось каждое слагаемое.

А это неверно. Этого достаточно. Но это не необходимо.

[Stensen]

NSKuber в сообщении #1144531 писал(а):

Stensen в сообщении #1144529 писал(а):

Чтобы сумма делилась, необходимо чтобы делилось каждое слагаемое.

А это неверно. Этого достаточно. Но это не необходимо.

Да, понятно.
А как тогда сформулировать необходимость для делимости $ A=B+C $ на $d$ ? Чтобы $A \, \vdots \, d$ необходимо, чтобы: $ (B+C) \, \vdots \, d$ ?
Или в данном случае необходимость не формулируется, а говорят, что "обратно не верно"?

[Slav-27]

Stensen в сообщении #1144543 писал(а):

Чтобы $A \, \vdots \, d$ необходимо, чтобы: $ (B+C) \, \vdots \, d$

Ну уж если

Stensen в сообщении #1144543 писал(а):

$ A=B+C $

-- тогда точно необходимо, и даже достаточно. Или вы что-то другое хотели спросить?

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1144545 писал(а):

Stensen в сообщении #1144543 писал(а):

Если $ A=B+C $ , то для того, чтобы $A \, \vdots \, d$ необходимо, чтобы: $ (B+C) \, \vdots \, d$ ?

Ну уж если $ A=B+C $- тогда точно необходимо, и даже достаточно. Или вы что-то другое хотели спросить?

Видимо перемудрил. Хотел спросить, как для этого случая сформулировать условие достаточности?

[Slav-27]

Всё равно не понял. Если хотите исследовать делимость чего-либо на $d$, то замените все числа остатками от деления на $d$ и все операции делайте по модулю $d$ (то есть всё время берите остатки).

Тогда для того, чтобы $B+C$ делилось на $d$, необходимо и достаточно, чтобы сумма остатков была $0$ по модулю $d$. В частности это так, если оба числа $B$ и $C$ делятся на $d$: ведь $0+0=0$.

[Stensen]

Slav-27 в сообщении #1144561 писал(а):

Всё равно не понял. Если хотите исследовать делимость чего-либо на $d$, то замените все числа остатками от деления на $d$ и все операции делайте по модулю $d$ (то есть всё время берите остатки).

Тогда для того, чтобы $B+C$ делилось на $d$, необходимо и достаточно, чтобы сумма остатков была $0$ по модулю $d$. В частности это так, если оба числа $B$ и $C$ делятся на $d$: ведь $0+0=0$.

Хотел сказать следующее: если все слагаемые делятся на $d$, то сумма тоже делитcя на $d$, но обратно не верно. Например $10 \, \vdots \, 5$, но слагаемые десятки: $ 3 $ и $7 $ не делятся на $5$. Именно этот контрпример я хотел выразить в терминах необходимых и достаточных условий для высказываний: $B, \, C, \, B+C$. Ваша формулировка через остатки мне понятна.

[Stensen]

Stensen в сообщении #1144591 писал(а):

Хотел сказать следующее: если все слагаемые делятся на $d$, то сумма тоже делитcя на $d$, но обратно не верно. Например $10 \, \vdots \, 5$, но слагаемые десятки: $ 3 $ и $7 $ не делятся на $5$. Именно этот контрпример я хотел выразить в терминах необходимых и достаточных условий для высказываний: $B, \, C, \, B+C$. Ваша формулировка через остатки мне понятна.

В общем понял, что именно из-за этого контрпримера условие необходимости не сформулируешь в том виде, в каком я хотел.
Спасибо за ответы.

[iifat]

Stensen в сообщении #1144591 писал(а):

но обратно не верно

Вообще говоря, именно это и называется достаточным условием.