Предел последовательности

[Antonij]

$$\displaystyle\lim_n\frac{\displaystyle\max_{1\leqslant{k}\leqslant{n}}x_k}{n}\leq \lim_n\displaystyle\max_{1\leqslant{k}\leqslant{n}}\frac{x_k}{k}$$

Но отсюда не следует, что ноль... А идея понятна. Если это доказать, то остальное уже получается.

[demolishka]

Antonij, на глупых неравенствах Вы далеко не уедете. Вооружитесь эпсилоном и вперед по определению.

[Antonij]

demolishka в сообщении #1144426 писал(а):

Antonij, на глупых неравенствах Вы далеко не уедете. Вооружитесь эпсилоном и вперед по определению.

Не вижу особой разницы:
Пусть для n>M $x_n/n<\varepsilon$. Тогда для $n>N>M$

$$ \frac{\max\{ x_1,\ldots x_n\}}{n}\leq\frac{\max\{ x_1,\ldots,x_M,n\varepsilon \}}{n}= \max\{ \frac{x_1}{n},\ldots,\frac{x_M}{n},\varepsilon \}\leq \max\{ \frac{x_1}{M},\ldots,\frac{x_M}{M},\varepsilon \}\not= \varepsilon_1 $$

Или была другая идея?

[demolishka]

На что Вы надеетесь, когда заменяете сколь угодно большое $n$ на фиксированное $M$?

demolishka в сообщении #1144426 писал(а):

на глупых неравенствах Вы далеко не уедете

[Antonij]

demolishka в сообщении #1144460 писал(а):

На что Вы надеетесь, когда заменяете сколь угодно большое $n$ на фиксированное $M$?

В доказательстве по определению n не сколь угодно большая, а всего лишь больше N. Т.к. я обязан избавиться от n, то M это самая большая константа, на которую я могу опираться. Нельзя же просто утверждать, что $x_k/n<\varepsilon_1\ (n>N,k=1,\ldots,M)$

[demolishka]

Что будет происходить с величиной $\max\{ \frac{x_1}{n},\ldots,\frac{x_M}{n},\varepsilon \}$ если я буду увеличивать $n$?

[Antonij]

demolishka в сообщении #1144467 писал(а):

Что будет происходить с величиной $\max\{ \frac{x_1}{n},\ldots,\frac{x_M}{n},\varepsilon \}$ если я буду увеличивать $n$?

Но это всё на уровне интуиций. Вопрос как доказать.
Вроде $N=\displaystyle\frac{\max\{x_1,\ldots x_M\}}{\varepsilon_1}$ работает.

[demolishka]

Что такое $\varepsilon_1$? И вообще, пишите утверждения полностью. Чтобы не гадать для чего это $N$, что за $\varepsilon$ и т.д.

[Antonij]

demolishka в сообщении #1144477 писал(а):

Что такое $\varepsilon_1$? И вообще, пишите утверждения полностью. Чтобы не гадать для чего это $N$, что за $\varepsilon$ и т.д.

У меня раньше были введены обозначения. Если $\varepsilon_1$ задано, то надо найти $N$ при котором $\max\ldots<\varepsilon_1,\ n>N$. Как я вижу, теперь всё корректно доказано.