Предел последовательности

[Antonij]

Пусть $(x_k)$ положительная последовательность, $\displaystyle\lim_n\frac{x_n}{n}=0$ и $\displaystyle\limsup_n\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k}{n}$ существует и конечен.

Найти $\displaystyle\lim_n\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^2}{n^2}$.

Похоже, что ответ 0. Как понимаю из $\limsup$ можно выжать только ограниченность но использовать это у меня не получается. Ну и ещё на ум приходит, что $\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\leq\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2$.

[dikiy]

Используйте указанное вами неравентво. С помощью него покажите существование предела. А потом заметьте, что

$$(x_1+x_2+\dotsb+x_n)^2 = x_1\sum_{k=1}^n x_k + x_2\sum_{k=1}^n x_k + \dotsb+ x_n\sum_{k=1}^n x_k $$

Еще одна подсказка: впоследствии понадобится теорема о перестановке знака суммы и предела.

[Antonij]

Т.е. предел под знак суммы? Но это не реально, так как суммируем до n... :(

[Lia]

Antonij
Для выборочного цитирования используйте кнопку "Вставка", предварительно выделив нужный фрагмент.
Исправляйте цитату, сейчас она у Вас вообще некорректна.

[dikiy]

$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{p=1}^n \frac {x_p \sum_{k=1}^n x_k}{n^2} $$

поменять надо большой знак суммы и предел.

[Antonij]

dikiy в сообщении #1144240 писал(а):

$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{p=1}^n \frac {x_p \sum_{k=1}^n x_k}{n^2} $$

Так я про это и говорю. Ведь так нельзя же:

$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{p=1}^n \frac {x_p \sum_{k=1}^n x_k}{n^2} =\sum_{p=1}^n \lim_{n\to\infty} \frac {x_p \sum_{k=1}^n x_k}{n^2}$$

Ну и даже если б было можно, кто сказал, что $x_p/n\to 0$ ?

[Lia]

Antonij в сообщении #1144245 писал(а):

Ведь так нельзя же:

Нельзя, естественно.

[dikiy]

Ну, так как Вы написали конечно нельзя. Но можно по-другому :)

[Antonij]

dikiy в сообщении #1144251 писал(а):

PS $ \lim \frac {x_p}n $ естественно равен нулю.

Нет, не равен. Только если возрастающая последовательность.

[dikiy]

Antonij в сообщении #1144252 писал(а):

dikiy в сообщении #1144251 писал(а):

PS $ \lim \frac {x_p}n $ естественно равен нулю.

Нет, не равен. Только если возрастающая последовательность.

равен. $x_p$ - константа. Но все намного проще.

надо использовать
$ \lim a_n b_n = \lim a_n \lim b_n $, если первый предел существует.

[Brukvalub]

dikiy в сообщении #1144253 писал(а):

надо использовать
$ \lim a_n b_n = \lim a_n \lim b_n $, если первый предел существует.

Контрпример: $\frac{1}{n}\cdot n$

[DiMath]

dikiy
Нужно требовать существование каждого из пределов.

[Antonij]

Больше идей нет?

[Lia]

Antonij
Замечание за искусственный подъем темы.

[adfg]

Antonij,
Можно попробовать показать что из условия $\displaystyle\lim_n\frac{x_n}{n}=0$ вытекает $\displaystyle\lim_n\frac{\displaystyle\max_{1\leqslant{k}\leqslant{n}}x_k}{n}=0$
Если данное утверждение верно (а выглядит достаточно правдоподобно), то дальнейшее уже не представляет сложности и вполне очевидно.