Счетное объединение в определении топологии

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1144290 писал(а):

Раз уж о вкусах не спорят, а как вам определения с использованием окрестностей (этот подход в обсуждении по ссылке kp9r4d тоже упомянут)?

Если Вы про подход, используемый Бурбаки, где аксиоматизируется понятие окрестности (множества, содержащего открытое множество, содержащее данную точку) - то для меня интуитивно он лучше, чем традиционный, но сильно проигрывает по сравнению с приведённым мной.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1144288 писал(а):

Да в конце концов, пусть будут такие аксиомы для точек прикосновения:
1) $x$ есть точка прикосновения множества $M\cup N$ тогда и только тогда, когда $x$ есть точка прикосновения множества $M$ либо множества $N$;
2) любая точка множества $M$ есть точка прикосновения множества $M$;
3) если $x$ есть точка прикосновения к множеству точек прикосновения множества $M$, то $x$ есть точка прикосновения множества $M$;
4) у пустого множества нет точек прикосновения.

Спасибо, вот теперь проявилась красота подхода. Значит, сначала определяем точку прикосновения согласно этим интуитивно прозрачным аксиомам. Потом - замыкание как множество точек прикосновения, и выписываем свойства замыкания, прямо следующие из этих аксиом. А потом - согласно озвученному плану.

[Aritaborian]

Извините, что влезаю со своим свиным рылом. Точка прикосновения и предельная точка здесь у нас — одно и то же?

[Mikhail_K]

Aritaborian в сообщении #1144401 писал(а):

Точка прикосновения и предельная точка здесь у нас — одно и то же?

Конечно, нет. Иначе была бы неверной аксиома 2). Что такое точка прикосновения - см. любой учебник или хотя бы Википедию.

[Aritaborian]

Да я смотрел. Выходило, что да. А теперь выходит, что нет ;-(

[Anton_Peplov]

Aritaborian
Множество всех точек прикосновения $=$ замыкание $=$ множество всех предельных точек $\cup$ множество всех изолированных точек.

[Aritaborian]

Да, Anton_Peplov, конечно же. Я ранним утром немножко затупил. И теперь точно могу присоединиться к Mikhail_K и сказать, что изложение, предпочитаемое им, считаю гораздо более прозрачным, нежели «обычное».