∀ — для всех или для любого?

[arseniiv]

epros в сообщении #1144008 писал(а):

Так вот, возвращаясь к теме бесконечностей, а конкретнее - бесконечных множеств: Существование бесконечного множества частенько не может быть доказано в "актуальном" смысле (т.е. в смысле BHK-интерпретации - посредством его предъявления), но может быть доказано в "потенциальном" смысле. Лично по мне, так в первом смысле не может быть убедительно доказано существование никакого бесконечного множества.

Доказано в какой теории? $\mathrm{ZF}$? $\mathrm{ZF}-\mathrm{Infinity}$?

epros в сообщении #1144014 писал(а):

Если в утверждениях на естественном языке, которые нельзя считать бессмысленными, существенно различие между употреблением слов "все" и "любой", то это различие должно быть отражено в математической формализации.

Формализации уже данного естественного языка целиком. Это будет большая и страшная теория.

[epros]

arseniiv в сообщении #1144125 писал(а):

Доказано в какой теории? $\mathrm{ZF}$? $\mathrm{ZF}-\mathrm{Infinity}$?

Разумеется речь о таких теориях, в которых аксиома бесконечности не заложена изначально. Например, в GST. Ну, или в арифметике Пеано.

arseniiv в сообщении #1144125 писал(а):

Формализации уже данного естественного языка целиком. Это будет большая и страшная теория.

Ну, целиком не обязательно. Но если есть пример двух осмысленных утверждений, различаемых только словами "все" или "любой" и интерпретируемых существенно разным образом, то будет полезно понять, в чём заключается разница при переводе на формальный язык.

[arseniiv]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1144136 писал(а):

Разумеется речь о таких теориях, в которых аксиома бесконечности не заложена изначально. Например, в GST. Ну, или в арифметике Пеано.

Но притом там будет разница, если взять классическую логику?

(В арифметике Пеано речь идёт только о подмножествах $\mathbb N$, и выражаются они кодами соответствующих формул, или имелось в виду что-то другое?)

epros в сообщении #1144136 писал(а):

Ну, целиком не обязательно. Но если есть пример двух осмысленных утверждений, различаемых только словами "все" или "любой" и интерпретируемых существенно разным образом, то будет полезно понять, в чём заключается разница при переводе на формальный язык.

А, ну да. Тогда я не те акценты увидел у вас.

[epros]

arseniiv в сообщении #1144137 писал(а):

Но притом там будет разница, если взять классическую логику?

(Оффтоп)

Странно, что Вы помещаете вопрос в офтоп. Обычно это подразумевает отсутствие необходимости развития дискуссии во избежание ухода от темы, т.е. ответа Вы, вроде как, не ждёте... Несколько сбивает с толку. Всё же постараюсь ответить, стараясь не слишком далеко уходить от темы.

Разница не столько в заложенных в логику аксиомах, сколько в подходах к интерпретациям. Понятно, что с формальной точки зрения доказательство всегда базируется на некоторой аксиоматике. Вопрос в том, насколько с нашей точки зрения добавляется или убавляется убедительности доказательству в случае добавления дополнительных аксиом существования. В языке всегда можно сформулировать утверждение о существовании какого-нибудь очередного "чайника Рассела". Подход BHK-интерпретации таков, что пока оный чайник явно не предъявлен, утверждать его существование неправомерно. Подход же классической логики таков, что интерпретация обязана трактовать это утверждение либо как истинное, либо как ложное. Можно, конечно, заложить как аксиому несуществование, но в такой ситуации классический математик скорее склонен сказать, что существует всё, что он способен непротиворечиво вообразить (в смысле, что оно существует хотя бы в его воображении ). Это в полной мере относится и к существованию разного рода бесконечных множеств.

arseniiv в сообщении #1144137 писал(а):

(В арифметике Пеано речь идёт только о подмножествах $\mathbb N$, и выражаются они кодами соответствующих формул, или имелось в виду что-то другое?)

В арифметике первого порядка, строго говоря, речь идёт только о натуральных числах. Ни о каких "множествах" она вообще-то ничего сказать не может. Это выражается в том, что формула арифметики первого порядка может интерпретироваться совершенно разными множествами. Арифметика второго порядка, конечно, совсем другое дело.

[arseniiv]

epros в сообщении #1144299 писал(а):

Разница не столько в заложенных в логику аксиомах, сколько в подходах к интерпретациям.

Ну как же, с законом исключенного третьего или без него — разница достаточная для того, чтобы позволить или запретить тот подход к интерпретации, про который вы сказали.

epros в сообщении #1144299 писал(а):

Арифметика второго порядка, конечно, совсем другое дело.

А, вы про неё.

[epros]

arseniiv в сообщении #1144302 писал(а):

Ну как же, с законом исключенного третьего или без него — разница достаточная для того, чтобы позволить или запретить тот подход к интерпретации, про который вы сказали.

Да, конечно. Как BHK-интерпретация влечёт непринятие закона исключённого третьего в качестве общезначимого, так и принятие закона исключённого третьего в качестве общезначимого влечёт необходимость классической интерпретации.

arseniiv в сообщении #1144302 писал(а):

А, вы про неё.

Скорее всё же нет. Я имел в виду именно арифметику первого порядка. Из неё самой никаких "множеств", в том числе бесконечных, вытащить невозможно, однако классическая логика из предположения непротиворечивости арифметики сразу делает вывод о существовании её модели, каковая уже есть бесконечное множество. В этом, в частности, проявляется различие в подходах к интерпретации: BHK-интерпретация сама по себе ничего подобного не предполагает.

[arseniiv]

epros в сообщении #1144425 писал(а):

Из неё самой никаких "множеств", в том числе бесконечных, вытащить невозможно, однако классическая логика из предположения непротиворечивости арифметики сразу делает вывод о существовании её модели, каковая уже есть бесконечное множество.

Так это уже утверждения метатеории. Метатеорию и надо тогда рассматривать.

[epros]

arseniiv в сообщении #1144537 писал(а):

Так это уже утверждения метатеории. Метатеорию и надо тогда рассматривать.

Можно рассматривать или не рассматривать, суть не в этом. Суть в том, что с точки зрения классической логики истинность определяется интерпретацией языка, а интерпретация, совместимая с арифметикой, это её модель. Поэтому утверждение: "если арифметика непротиворечива, то у неё есть модель", - является общезначимым. Т.е. если моделирующая теория не может доказать существование модели арифметики (а GST, например, не может), то это - "её проблемы". В смысле: "Добавляйте необходимые аксиомы".

[Theoristos]

Sonic86 в сообщении #1143994 писал(а):

Не существует такого истинного (ложного) высказывания, в котором замена квантора "для всех" на "для любого" давала бы ложное (истинное) высказывание.

(Оффтоп)

"Для всех жителей Земли не составит труда поднять это бревно"

[TOTAL]

(Оффтоп)

Theoristos в сообщении #1145060 писал(а):

"Для всех жителей Земли не составит труда поднять это бревно"

У любого не все дома

[Joker_vD]

Если интересует история математики — то в очень старых книгах обычно употребляется "для всех", в более новых — "для любого/каждого". Переход этот происходил в течение первой половины XX-го века, так что рискну предположить, что он связан как раз с формализацией оснований и реакцией на появление конструктивизма: "консервативные" математики ушли от спора о том, что значит "для всех элементов бесконечного множества", просто заменив ее на конструкцию "для любого элемента бесконечного множества".

[Sonic86]

(Оффтоп)

Theoristos в сообщении #1145060 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1143994 писал(а):

Не существует такого истинного (ложного) высказывания, в котором замена квантора "для всех" на "для любого" давала бы ложное (истинное) высказывание.

"Для всех жителей Земли не составит труда поднять это бревно"

Если это не шутко, ты Вы просто пользуетесь двусмысленностью русского языка - высказывания по смыслу совершенно разные.
Если шутко, то да - прикольно

[Theoristos]

(Оффтоп)

Если б это не было шуткой, я б оффтоп не ставил.
Правда небольшой повод задуматься и там есть, весь вопрос что вкладывается во фразу. Но это частично уже обсуждали.

Кстати можно и наоборот: "Этих денег вполне достаточно для любого человека"

[bot]

(Оффтоп)

Из моей замдеканской практики:

Беседа с одним из должников по логике.
- Тебя отчислят
- Всех отчислить нельзя (указывая пальцем на длинный список)
- Всех нельзя, но любого можно

[Vince Diesel]

ellipse в сообщении #1143920 писал(а):

$\forall$ — для всех или для любого? В англоязычной литературе также употребляются разные словесные формы: for all, for any. Есть ли разница?

Не помню где, кажется в какой-то популярной книжке по математике, разница между "для любого" и " для каждого" объяснялась на примере "дать конфету любому" и "дать конфету каждому"