∀ — для всех или для любого?

[Anton_Peplov]

Vince Diesel в сообщении #1145722 писал(а):

Не помню где, кажется в какой-то популярной книжке по математике, разница между "для любого" и " для каждого" объяснялась на примере "дать конфету любому" и "дать конфету каждому"

Все это чрезвычайно мило, однако квантор $\forall$ не применяется в предложениях типа "дать конфету $x$". Он применяется в предложениях типа "у $x$ есть конфета". То есть если это была книжка по математике, то это была странная книжка.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Однажды на одной моей лекции студентка заявила мне, что я путаю выражения "для любого" и "для каждого", а учительница в школе ей постоянно говорила, что это большая ошибка, причём влияющая на оценку. Правда, на мою просьбу строго изложить, в чём конкретно заключается это различие, она смогла сообщить только какие-то общие и невнятные слова - после чего я посоветовал ей выкинуть всё это из головы, чем скорее, тем лучше.
Бедные школьники, какой ерундой им порой забивают головы учителя!

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1145725 писал(а):

квантор $\forall$ не применяется в предложениях типа "дать конфету $x$". Он применяется в предложениях типа "у $x$ есть конфета". То есть если это была книжка по математике, то это была странная книжка.

Не будьте слишком строги. "Дать" - это нормальный бинарный предикат: Дать(что, кому). Если в первый аргумент поставить константу, а во второй - переменную, то на переменной вполне можно ставить квантор всеобщности (и получится одно из двух указанных предложений).

[Anton_Peplov]

epros в сообщении #1145867 писал(а):

"Дать" - это нормальный бинарный предикат: Дать(что, кому).

Нормальный предикат получится, если глагол поставить в изъявительное наклонение и одно из времен, а не в инфинитив. "дал(что, кому)" - нормальный предикат. "Дам(что, кому)" - тоже. А вот "дай(что, кому)" - не предикат ни в каком месте, как и "дать". Впрочем, предикатом является, например, "нужно дать (что, кому").
В любом случае выражение естественного языка "дал конфету любому" неоднозначно: его можно прочитать и как "дал каждому по (одной и своей собственной) конфете", и как "дал некоторое количество конфет так, чтобы каждый имел доступ хотя бы к одной конфете (возможно, кому-то придется есть одну конфету на двоих, троих и т.д., а кто-то, наоборот, съест больше одной конфеты)", и как "выбрал кого-то одного и дал конфету только ему". Все эти выражения можно при желании формализовать, но иллюстрируют они только неоднозначность естественного языка. Так что если

Vince Diesel в сообщении #1145722 писал(а):

Не помню где, кажется в какой-то популярной книжке по математике, разница между "для любого" и " для каждого" объяснялась на примере "дать конфету любому" и "дать конфету каждому"

то автор книжки создает в голове читателя совершенно ненужную кашу.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1145888 писал(а):

А вот "дай(что, кому)" - не предикат ни в каком месте, как и "дать".

В лингвистическом смысле слова, вроде бы, будет. Другое дело, что этот смысл слова тут действительно ни при чём.

-- Пн авг 22, 2016 17:41:23 --

Не, наверно, там это относится не к конкретным словоформам, а ко всему слову как лексической единице, так что я зря написал.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1145888 писал(а):

Нормальный предикат получится, если глагол поставить в изъявительное наклонение и одно из времен, а не в инфинитив.

Да бросьте, формы глаголов в данном случае несущественны. Мы же в данном примере рассматриваем различие утверждений не с точки зрения времени их применимости или чего-то ещё, а с точки зрения применимости квантора всеобщности.

Anton_Peplov в сообщении #1145888 писал(а):

Все эти выражения можно при желании формализовать, но иллюстрируют они только неоднозначность естественного языка.
...
автор книжки создает в голове читателя совершенно ненужную кашу.

Ну зачем же прямо и кашу, да ещё и ненужную? Понятное дело, в естественном языке куча возможностей выразиться неоднозначно, от которых формализация нас должна избавить. Но в данном примере суть различий между высказываниями очевидна. И наша задача - продемонстрировать, что это различие выразимо и на формальном языке.

Вот так: $\forall y \exists x \, \text{Человек}(y) \to \text{Дать}(x, y) \wedge \text{Конфета}(x)$ мы даём каждому человеку (какую-нибудь) конфету. А вот так: $\exists x \forall y \, \text{Человек}(y) \to \text{Дать}(x, y) \wedge \text{Конфета}(x)$ мы даём всем людям (одну общую) конфету.

Как видим, формализация разная и двух различных кванторов всеобщности не потребовалось.

[Anton_Peplov]

epros в сообщении #1146020 писал(а):

Как видим, формализация разная и двух различных кванторов всеобщности не потребовалось.

Никто и не говорил, что потребуются. Я говорю о другом: в математических текстах на естественном языке (статьях, учебниках) не делают различий между "для всех" и "для любого" - оба выражения означают квантор $\forall$. Человек, читающий "научно-популярную книжку по математике", где такое различие проводится, да еще иллюстрируется примером (основанным всего лишь на неоднозначности естественного языка), вполне законно придет к ложному заключению, что такое различие проводится и в математических текстах (иначе зачем о нем в "книжке про математику" написано?). А это уже просто вредное заблуждение, в которое автор вводит читателя.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1146025 писал(а):

в математических текстах на естественном языке (статьях, учебниках) не делают различий между "для всех" и "для любого" - оба выражения означают квантор $\forall$.

В математических (как и в бытовых) текстах на естественном языке эти слова обозначают не только квантор, но и определённое грамматическое число: "любой" или "каждый" подразумевают существительное в единственном числе (человек), а "все" подразумевает существительное во множественном числе (люди). Поэтому "дать всем (людям) конфету", представляющее собой сопоставление многих $y$ одному $x$, закономерно воспринимается как разговор об одной конфете на всех.

[arseniiv]

Ну здесь-то речь о выражениях «для всех/любого/каждого/всякого/etc.» целиком.

[epros]

Исправил первую формулу в своём посте выше, а то в таком варианте:

epros в сообщении #1146020 писал(а):

$\forall x, y \, \text{Человек}(y) \to \text{Дать}(x, y) \wedge \text{Конфета}(x)$

получалось, что каждый человек получит все конфеты мира.