Меры, абсолютная непрерывность, мажоранты.

[dikiy]

Пусть есть последовательность $\{h_n\} $ $\mu$-измеримых функций со свойством

$$ \int_K h_n d\mu \to 0, K\subset\mathbb R \text{ -- компактно } $$

Пусть мера $\mu$ является эквивалентной лебеговой. Отсюда мы имеем, что мера $\mu$ представима как

$$ d\mu = g(x) d x $$

с $g(x)>0$ почти всюду и $g\in L^1(K)$.

Какими дополнительными свойствами должна обладать мера $\mu$ (или функция $g$), дабы выполнялось

$$ \int_K h_n d x \to 0 \; ?$$

очевидно, что в случае $g\geq c > 0$ мы получим желаемое. Но это слишком сильное условие, как мне представляется.

[Brukvalub]

dikiy в сообщении #1144188 писал(а):

...очевидно, что в случае $g\geq c > 0$ мы получим желаемое.

Вот контрпример:$ K=[0 ; 1] , g(x)=x+1, h_n(x)=1 , x\in [0 ; 0,5] , h_n(x)=-\frac{5}{7} , x\in [0,5 ; 1]$

[dikiy]

Спасибо. Мне это помогло другую проблему решить :)
Давайте теперь допустим, что все $h_n$ положительны.

[demolishka]

Например, существование и ограниченность величины $\int\limits_{K}\frac{h_n(x)}{g(x)}dx$=\int\limits_{K}\frac{h_n(x)}{g^2(x)}d\mu(x) при достаточно больших $n$.