∀ — для всех или для любого?

[ellipse]

$\forall$ — для всех или для любого? В англоязычной литературе также употребляются разные словесные формы: for all, for any. Есть ли разница?

Мне кажется, предпочтительнее говорить "для любого", "для каждого" вместо "для всех".

Когда говорят для всех, можно подумать, что все элементы рассматриваются одновременно, в совокупности. Например, формулировка аксиомы группы: для всех $x$ из $G$ существует $y$ из $G$ такой, что $xy=1$. Можно подумать, что для всех $x$ из $G$ существует $y$ подходящий сразу для всех $x$. Если же сказать: для любого (для каждого) $x$ из $G$ существует $y$ из $G$ такой, что $xy=1$, то недопонимание уже менее вероятно.

Также тут где-то рядом просвечивается вопрос об актуальной и потенциальной бесконечности, о конструктивизме. Когда говорим "для всех", то охватываем сразу все множество, а когда говорим "для любого", то сначала выделяем конкретный элемент и для него формулируем утверждение. Конечно, по сути разницы нет, но из эстетических соображений, наверное, лучше стремиться к минимизации использования актуальной бесконечности.

[Anton_Peplov]

ellipse в сообщении #1143920 писал(а):

Можно подумать, что для всех $x$ из $G$ существует $y$ подходящий сразу для всех $x$.

Это решается порядком кванторов. $\forall x \exists y$ - "для любого $x$ существует $y$ такой, что...". $\exists y \forall x $ - "существует $y$ такой, что для любого $x$ ..."

[ellipse]

Цитата:

Это решается порядком кванторов.

Знаю все это прекрасно. Вопрос о письменной и устной речи.

[alcoholist]

ellipse в сообщении #1143925 писал(а):

Вопрос о письменной и устной речи.

Так в любой сентенции тоже есть порядок кванторов.

[arseniiv]

ellipse
И в них порядок имеет значение, разумеется.

ellipse в сообщении #1143920 писал(а):

Также тут где-то рядом просвечивается вопрос об актуальной и потенциальной бесконечности, о конструктивизме. Когда говорим "для всех", то охватываем сразу все множество, а когда говорим "для любого", то сначала выделяем конкретный элемент и для него формулируем утверждение. Конечно, по сути разницы нет, но из эстетических соображений, наверное, лучше стремиться к минимизации использования актуальной бесконечности.

Не надо ничего минимизировать — особенно того, чего нет вообще в математике.

[Anton_Peplov]

ellipse в сообщении #1143925 писал(а):

Вопрос о письменной и устной речи.

Ответ: принципиальной разницы нет, это вопрос вкуса.

ellipse в сообщении #1143920 писал(а):

Также тут где-то рядом просвечивается вопрос об актуальной и потенциальной бесконечности

Преданья старины глубокой. Насколько я понимаю, придать математически строгий смысл различению "потенциальной" и "актуальной" бесконечности не удалось, и эти понятия были сданы в архив по ведомству "околоматематические философствования". Если я ошибаюсь, пусть меня поправят.

[Pavia]

ellipse
Вот вы когда в LaTex набирали что написали? forall.
Возьмём википедию
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification
All встречается 8 раз
Any встречается 4 раза.
Ошибка подсчёта не превышает 1.

Цитата:

Мне кажется, предпочтительнее говорить "для любого", "для каждого" вместо "для всех".

Вот именно, что кажется! А мне кажется наоборот.
Но это у нас с вами шутки-разума. Каждый из нас запомнил свой вариант, как предпочтительный.

Но слово любой очень похоже на слово любимый. Даже пишут что происходит от него! А любим мы одного двух, а не всех. Поэтому слово любого не может касаться множества. А речь идёт про множества.
Со шляюсь на источник:
https://ru.wiktionary.org/wiki/любой
На самом деле эти два термина не отличимы. Нет семантических правил которое бы отличали одно от другого. Т.е. хотя исторически слово и происходит от любимый, но нет письменных упоминаний которые бы давали связь со словом любимый, зато как замена слова всех хоть отбавляй.

Но стоит понимать что язык он живой. Он меняется, а лингвисты записывают и изучают, то что есть и то что было.
Всё в ваших руках, как вы будете писать так и будут.

[ellipse]

Anton_Peplov в сообщении #1143933 писал(а):

придать математически строгий смысл различению "потенциальной" и "актуальной" бесконечности не удалось, и эти понятия были сданы в архив

Не очень разбираюсь в основаниях математики, но насколько знаю, при построении различных теорий множеств очень важны понятия, связанные с конструктивностью. Конструктивность это как раз то, что противопоставляется актуальной бесконечности. Я бы пока не сдавал это в архив.

Цитата:

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ - одна из математических идеализации, связанная с определенной формой идеи бесконечности в математике - с идеей так наз. актуальной бесконечности.

В применении к потенциально неограниченно продолжимым конструктивным процессам (таким, напр., как процесс последовательного, отправляясь от нуля, порождения натуральных чисел) А. а. б. состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этих процессов и в равноправном затем рассмотрении результатов воображаемого завершения этих процессов - множеств порождаемых ими объектов, причем эти результаты начинают восприниматься нашим сознанием в качестве актуальных, «готовых» объектов рассмотрения. Применение А. а. б. в указанном выше примере позволяет нам считать математич. объектом множество всех натуральных чисел - натуральный ряд.

В логич. аспекте последовательное принятие А. а. б. ведет к принятию в качестве логич. принципа закона исключенного третьего.

Особую роль А. а. б. играет при построении математики на базе общей теории множеств, созданной Г. Кантором (G. Cantor). Являясь далеко идущей идеализацией, А. а. б., особенно при многократном применении ее в переплетении с другими идеализациями, порождает объекты, «осязаемость» к-рых становится косвенной, вследствие чего решение проблемы понимания суждений о таких объектах наталкивается на определенные трудности. Неограниченное применение А. а. б. в математике в качестве правомерного средства образования математич. объектов встречало возражения со стороны ряда математиков [Л. Кронекер (L. Kronecker), К. Гаусс (К. Gauss), Д. Гильберт (D. Hilbert), Г. Вейль (Н. Weyl) и др.]. Позитивные программы построения математики на базе абстракции потенциальной осуществимости без использования А. а. б. предложили Л. Э. Я. Брауэр (L. Е. J. Brouwer, см. Интуиционизм) и А. А. Марков (см. Конструктивная математика).

Н. М. Нагорный.
Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

-- Вс авг 14, 2016 01:34:17 --

Pavia в сообщении #1143940 писал(а):

ellipse
Вот вы когда в LaTex набирали что написали? forall.

А еще в LaTeX пустое множество обозначается \varnothing. И что теперь, вместо "пустое множество" всем следует говорить "ничего"?

Pavia в сообщении #1143940 писал(а):

Возьмём википедию
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification
All встречается 8 раз
Any встречается 4 раза.
Ошибка подсчёта не превышает 1.

Все это argumentum ad populum.

Pavia в сообщении #1143940 писал(а):

Цитата:

Мне кажется, предпочтительнее говорить "для любого", "для каждого" вместо "для всех".

Вот именно, что кажется! А мне кажется наоборот.

Я ничего не утверждаю, не спорю. Заранее ясно, что однозначного ответа тут быть не может. Создал тему, чтоб все/каждый/любой высказал свои личные мысли поэтому поводу.

-- Вс авг 14, 2016 01:39:44 --

Вообще, я задумался над этим вопросом, когда в статье буквально в соседних строках встретил два варианта:

[arseniiv]

ellipse в сообщении #1143971 писал(а):

Конструктивность это как раз то, что противопоставляется актуальной бесконечности. Я бы пока не сдавал это в архив.

Всё, что от конструктивности надо в математике, уже формализовано, но почему-то я нигде не встречал в описаниях «потенциальной бесконечности» (там, где вообще есть смысл говорить о бесконечности). Например, интуиционистская логика языком вообще не отличается от классической, и отличия лишь в аксиомах и интерпретации; и ZF(C) или другая теория множеств без каких-либо изменений прекрасно переносятся (внелогические символы и собственные аксиомы ровно те же, а больше ничего и не надо). Читая про теории типов, где, можно сказать, конструктивность ещё более явная, тоже не встречал упоминаемого деления. Вот не понимаю, зачем так хвататься за эти слова? И зачем читать философские статьи вместо конкретных описаний теорий, говорящих за себя?

ellipse в сообщении #1143971 писал(а):

Вообще, я задумался над этим вопросом, когда в статье буквально в соседних строках встретил два варианта:

Ну и прекрасно — ещё один факт в кучу фактов в пользу взаимозаменяемости этих выражений.

(Оффтоп)

ellipse в сообщении #1143971 писал(а):

А еще в LaTeX пустое множество обозначается \varnothing. И что теперь, вместо "пустое множество" всем следует говорить "ничего"?

Нет, конечно, не «ничего», а «варничего». «Ничего» надо говорить тем, кто пользуется $\emptyset$.

[Sonic86]

Не существует такого истинного (ложного) высказывания, в котором замена квантора "для всех" на "для любого" давала бы ложное (истинное) высказывание.
Соответственно, вопрос пустой.

[Someone]

ellipse в сообщении #1143971 писал(а):

Вообще, я задумался над этим вопросом, когда в статье буквально в соседних строках встретил два варианта:

Я не понимаю вообще смысла обсуждения. Слова "for all" и 'for any" и соответствующме им русскоязычные "для всех", "для любого", "для каждого" употребляются как синонимы и обозначают квантор "$\forall$". Несколько вариантов используются исключительно с целью разнообразия языка, чтобы не повторять всё время одно и то же слова.

Никакого математически значимого различия между актуальной и потенциальной бесконечностью в теории множеств обнаружить не удаётся, они "различаются" на уровне " околоматематической философии".

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1143933 писал(а):

Насколько я понимаю, придать математически строгий смысл различению "потенциальной" и "актуальной" бесконечности не удалось, и эти понятия были сданы в архив по ведомству "околоматематические философствования". Если я ошибаюсь, пусть меня поправят.

Я бы сказал, что это "почти" правильно, но всё же не совсем. Как раз в конструктивной логике есть разница если и не между потенциальной и актуальной бесконечностью, то между потенциальным и актуальным существованием. Если следовать BHK-интерпретации, то квантор существования ("актуального") можно поставить только в том случае, если предъявлен объект, обладающий указанным свойством. Тем не менее, возможны косвенные доказательства существования, которые для конструктивной логики тоже кое-что значат. Например, "человек, находящийся в данной комнате" существует не только в том случае, если мы его непосредственно предъявим, но и в том случае если из комнаты выходило меньше людей, чем входило. Применяя аксиому о том, что "люди не могут в этой комнате исчезать без следа", мы делаем вывод, что кто-то там есть, хотя непосредственно его мы и не видим. С точки зрения конструктивной логики это является приведением к противоречию с данной аксиомой предположения о том, что "в данной комнате никого нет". Приведение к противоречию в силу закона $(p \to \bot) \to \neg p$ является отрицанием. Т.е. в данном случае мы опровергаем несуществование: $\neg \nexists x \, \varphi(x)$. С точки зрения конструктивной логики это более слабая вещь, чем существование в смысле BHK-интерпретации, ибо отсутствует закон снятия двойного отрицания. По этой причине данное утверждение можно считать утверждением "потенциального" существования.

Так вот, возвращаясь к теме бесконечностей, а конкретнее - бесконечных множеств: Существование бесконечного множества частенько не может быть доказано в "актуальном" смысле (т.е. в смысле BHK-интерпретации - посредством его предъявления), но может быть доказано в "потенциальном" смысле. Лично по мне, так в первом смысле не может быть убедительно доказано существование никакого бесконечного множества.

[Mikhail_K]

Sonic86 в сообщении #1143994 писал(а):

Соответственно, вопрос пустой.

Someone в сообщении #1143998 писал(а):

Я не понимаю вообще смысла обсуждения. Слова "for all" и 'for any" и соответствующме им русскоязычные "для всех", "для любого", "для каждого" употребляются как синонимы и обозначают квантор "$\forall$". Несколько вариантов используются исключительно с целью разнообразия языка, чтобы не повторять всё время одно и то же слова.

Насколько я понял, вопрос ТС состоял в том, насколько правильно (не с точки зрения математики, которой всё равно, а с точки зрения русского языка) читать квантор $\forall$ как "для всех", а не "для любого". ТС привёл аргумент в пользу правильности прочтения этого квантора именно как "для любого", а не "для всех".

То есть, теоретически, квантор $\forall$ можно называть как угодно, хоть даже "для меня" (если условиться, что выражение "для меня" всегда будет означать именно квантор $\forall$). Но это будет неправильно и бессмысленно с точки зрения русского языка.

(Я здесь не высказываюсь в пользу или против мнения ТС, а проясняю объект обсуждения. Думаю, что я правильно понял, что имел в виду ТС в данной теме. В принципе, тему можно перенести в раздел "Беседы на околонаучные темы".)

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1144012 писал(а):

не с точки зрения математики, которой всё равно

Я скажу почему математике не всё равно. Математика более или менее претендует на то, чтобы формально и однозначно интерпретировать всё, высказанное на естественном языке и имеющее какой-то смысл. Если в утверждениях на естественном языке, которые нельзя считать бессмысленными, существенно различие между употреблением слов "все" и "любой", то это различие должно быть отражено в математической формализации. Выше было сказано о том, что в первом примере, приведённом ТС, различие выражается порядком кванторов. Но может быть у ТС заготовлены и другие примеры...

[dsge]

ellipse в сообщении #1143971 писал(а):

Вообще, я задумался над этим вопросом, когда в статье
буквально в соседних строках встретил два варианта:

Автор это сделал только для гладкости текста, т.е. чтобы не повторять одно и тоже слово - any - 4 раза подряд.