а какой способ для школьников наиболее доступный для нахождения частного решения в линейных диафантовых уравнениях с двумя переменными?
Самый простой для запоминания -- это цепные дроби. В этом случае надо запоминать лишь само понятия цепной дроби, но оно и само по себе полезно. Ну и ещё помнить тот факт, что оно здесь помогает.
Пример:

.
Раскладываем:

.
Отбрасываем последнее и сворачиваем обратно:

.
Т.е. то ли

, то ли наоборот. Формально говоря, следовало бы вызубрить, какой из восьми вариантов верен, практически же -- не надо: беглая прикидка в уме мгновенно даёт, что правильным может быть только

.
Конечно, это и есть алгоритм Евклида. Но в такой форме он не требует запоминания никаких технических деталей.