Например, так - если хотим минимизировать всякий подбор и произвол. В целых числах уравнение Вы уже решили и получили ответ

,

,

. Это значит, что какое бы мы целое

ни взяли, у нас получатся целые

и

, удовлетворяющие уравнению. Однако, при одних целых

эти

и

будут оба натуральными, а при других не будут. При каких целых

они будут оба натуральными? Вы ответили на этот вопрос: при

, или, что то же самое, при

. Таким образом, решение в натуральных числах будет такое:

,

,

.
Для более приятного вида можно сделать здесь замену

. Так как параметр

пробегал значения

, то соответствующими значениями

будут

- то есть натуральные. Подставляя

в найденное решение, получаем

,

,

. Ну, это то же самое что получилось у Вас.