Пересечение множеств

[Mikhail_K]

Например, так - если хотим минимизировать всякий подбор и произвол. В целых числах уравнение Вы уже решили и получили ответ $n_{0}=6-5k$, $n_{1}=3-3k$, $k\in\mathbb{Z}$. Это значит, что какое бы мы целое $k$ ни взяли, у нас получатся целые $n_0$ и $n_1$, удовлетворяющие уравнению. Однако, при одних целых $k$ эти $n_0$ и $n_1$ будут оба натуральными, а при других не будут. При каких целых $k$ они будут оба натуральными? Вы ответили на этот вопрос: при $k \in (-\infty,1)$, или, что то же самое, при $k=0,-1,-2,\dots$. Таким образом, решение в натуральных числах будет такое: $n_{0}=6-5k$, $n_{1}=3-3k$, $k=0,-1,-2,\dots$.

Для более приятного вида можно сделать здесь замену $l=1-k$. Так как параметр $k$ пробегал значения $0,-1,-2,\dots$, то соответствующими значениями $l$ будут $1,2,3,\dots$ - то есть натуральные. Подставляя $k=1-l$ в найденное решение, получаем $n_0=5l+1$, $n_1=3l$, $l\in\mathbb{N}$. Ну, это то же самое что получилось у Вас.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1143599 писал(а):

Вы неправы. $k$ должны быть одинаковые, как здесь.

Вы правы. Однако следующее замечание остаётся в силе.

maxmatem в сообщении #1143601 писал(а):

А как еще можно?

Заменить Ваше $k$ на $-k+k_0$, т.е. $a-bk$ на $a+b(k-k_0)$. И потребовать от $k_0$, чтобы $a-bk_0$ было -- каким?...

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1143605 писал(а):

Однако следующее замечание остаётся в силе.

Следующее замечание - это что не обязательно оба $n_0=6-5k$ и $n_1=3-3k$ должны быть натуральными, достаточно одного? Ну, возьмите $k=1$ - как раз такой случай. При подстановке в $x_0=3n_0-1=5n_1+2=17-5k$ получим вариант $x_0=12$ - но он не принадлежит пересечению. Или я Вас неправильно понял?

[maxmatem]

Mikhail_K
ewert

Спасибо за ваши замечания и советы, мне если честно даже не ловко что такая простенькая задачка на 2 листа дисскусий....

Но может кому еще понадобится.

[gris]

Я бы так решил. Сдвинул бы обе прогрессии на единичку вверх. Тогда первая будет состоять из натуральных чисел, кратных трём. А вторая имеет вид $5m+3$. Какие члены в ней делятся на $3$? Только вида $5\cdot 3k+3$.
То есть для первоначальных прогрессий вида $15k+2$

[maxmatem]

gris
Очень изящно, но согласитесь этот прием работает только в некоторых случаях, а мне нужен был общий метод с помощью которого бы решались такие упражнения.

такая алгоретмизированность нужна скорее не мне а тем ученикам которым я это буду рассказывать.

[gris]

maxmatem, нынешние школьники разучились решать задачи "рассуждением". Я летом немного порассуждал над ЕГЭшными задачами. Многие из трудных становятся совсем понятными, если не бросаться в формулы, а просто попытаться понять суть задачи. Так нет. Не хотят. И в предлагаемых напечатанных решениях тот же подход с излишней формализации. Может быть так и надо?
Кстати, увидел, что "мой" способ уже строго изложен чуть выше . Я ещё не пришёл в себя, а так хочется что-то чирикнуть на форуме

[gefest_md]

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

я начал выписывать данные множества при различных значения $n$ , нашел общие элементы

Я сделал так, чтобы правые части равенств
$q=3n-1$
$r=5m+2$
были похожими:
$q=3n-1\Leftrightarrow q=3n-1+3-3\Leftrightarrow q=3(n-1)+2\Leftrightarrow q=15\frac{n-1}{5}+2$
$r=5m+2\Leftrightarrow r=15\frac{m}{3}+2$

[maxmatem]

gefest_md
Отлично, но все равно Вы потом начнете решать уравнение $3n-5m=3$.

Цитата:

"Оно, может, и умно, но больно непонятно" - Мастер и Маргарита.....

Мне кажется детям это сложнее будет, чем рассуждение о том что возьмем элемент из пересечения значит он имеет вид и тд

[Otta]

gris в сообщении #1143610 писал(а):

Сдвинул бы обе прогрессии на единичку вверх.

А я б на два вниз.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1143612 писал(а):

нынешние школьники разучились решать задачи "рассуждением"

Может быть потому, что их никто этому и не учил?

[gris]

Otta, согласен. Вниз двигать куда легче, чем вверх

[iifat]

Mikhail_K в сообщении #1143585 писал(а):

$\{17-5k\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$

У вас там описка в двух местах: $\{17-15k\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1143621 писал(а):

У вас там описка в двух местах: $\{17-15k\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$

Действительно. Что это я.

[iifat]

maxmatem в сообщении #1143611 писал(а):

но согласитесь этот прием работает только в некоторых случаях

Не соглашусь. Попробуйте на других числах. Убедитесь.