аналитичность в задаче Дирихле

[zoo]

Пусть D -- ограниченная область в R^m граница которой -- вещественноаналитическое многообразие
рассмотрим задачу Дирихле
\Delta u =f,\quad u(\partial D)=0 функция f голоморфна в комплексной окрестности D. Что можно сказать об аналитичности решений этой задачи? легко построить пример, когда решение не продолжается аналитически в комплексную окрестность D. А при каких условиях на f и на D такое продолжение имеется?

PS приношу извинения модераторам, "удалите пожалуйста этот пост из дискуссионных тем"

[Brukvalub]

zoo писал(а):

Пусть D -- ограниченная область в R^m граница которой -- вещественноаналитическое многообразие
рассмотрим задачу Дирихле
\Delta u =f,\quad u(\partial D)=0 функция f голоморфна в комплексной окрестности D.

В какой комлексной окрестности в вещественном пространстве может быть голоморфна функция? Стараетесь показаться умным, а на самом деле несете полную чушь! Например, какая комлексификация соответствует нечётноменому пространству?

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo писал(а):

Пусть D -- ограниченная область в R^m граница которой -- вещественноаналитическое многообразие
рассмотрим задачу Дирихле
\Delta u =f,\quad u(\partial D)=0 функция f голоморфна в комплексной окрестности D.

В какой комлексной окрестности в вещественном пространстве может быть голоморфна функция? Стараетесь показаться умным, а на самом деле несете полную чушь! Например, какая комлексификация соответствует нечётноменому пространству?

Это стандартная терминология: пространство R^m естественным образом вложено в C^m. Соответственно область D это множество в C^m. И предлагается подумать о продолжении решения в окрестность множества D в C^m. Слово комплексификация я не произносил.

Я знаю, что по математическим и физическим форумам бродят всевозможные неудачники и несостоявшиеся личности, которым в реале нормальные люди просто не дают самовыражаться, от чего эти неудачники озлабляются и начинают скандалить. Мне самому приходится периодически выбрасывать статьи таких деятелей из журналов и отфильтровывать их доклады на семинарах. Осюда предельно вежливая просьба к Вам: не спамьте больше мои посты. Отвечать я всеравно не буду.

[Brukvalub]

zoo писал(а):

Это стандартная терминология: пространство R^m естественным образом вложено в C^m

В первый раз слышу о стандартном вложении R^m в C^m.

zoo писал(а):

Осюда предельно вежливая просьба к Вам: не спамьте больше мои посты. Отвечать я всеравно не буду.

Давно ли вы назначили себя хозяином Форума? Я пишу о ваших ошибках не для вас, а для предостережения от этих ошибок остальных людей. И мне глубоко наплевать, будете ли вы отвечать мне, или пойдете за хлебом. Главное - предостеречь от дурацких ошибок остальных.

[shwedka]

zoo

Цитата:

легко построить пример, когда решение не продолжается аналитически в комплексную окрестность D

Просветите, пожалуйста, про этот пример. На чем основан механизм отсутствия аналитичности?

[zoo]

ни как не могу найти функцию Грина для решения задачи Дирихле в круге. Ужос. А выводить лень. Поэтому покажу как разрушается аналитичность на примере задачи Дирихле с нулевой правой частью но ненулевыми гран условиями. Механизм тотже самый, что и в исходной задаче.

Имеем $\Delta u=0,\quad u\mid_{\partial M}=v(s)$ $M$-- круг в плоскости R^2 радиуса 1 с центром в нуле.
Тогда в полярных координатах

$u(r,\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int_{[0,2\pi]}v(t)\frac{1-r^2}{1-2rcos(t-\alpha)+r^2}dt$ Теперь если мы хотим продолжить $u$ в комплексную окрестность круга то должны рассматривать комплексные $r$ и $\alpha$. Тут надо делать определенные оговорки насчет полярной системы координат.
Но суть дела такова. Будем брать действительные $r$ и комплексные $\alpha$. Чем ближе $r$ к единице т.е. к границе области, тем меньшей по модулю можно брать мнимую часть $\alpha$. Иначе мы получим особенность в подинтегральной функции. Другими словами при приближении точки к границе радиус сходимости ряда Тейлора для $u$ в этой точке стремится к нулю, "за" границу решение, вообще говоря, аналитически не продолжается. В исходной задаче, с нулевыми гран. условиями и правой частью это наглядней, как я помню.
Другое неформальное объяснение: при выходе в комплексную область эллиптическое уравнение в определенном смысле превращается в гиперболическое см. Курант "Уравнения с частными производными", а у гиперболического уравнения от границы области бегут характеристики по которым распространяется разрыв. Ключевые слова : Леви, Гарабедян, Петровский

[shwedka]

zoo Если так, то все выглядит крайне пессимистично. Возможно, дело в том, что вещественный лапласиан крайне слабо связан с оператором Коши-Римана. Ваш пример наводит на мысль исследовать обратную задачу. Рассмотреть, какие голоморфные функции двух комплексных переменных могут быть гармоническими как функции двух вещественных переменных на вещественном сечении. Не появится ли препятствие.
Но есть и противоположное соображение. В Вашем примере, как только r приближается к единице, сдвинуть контур интегрирования, чтобы отойти от сингулярности. В силу вещественной аналитичности v это, похоже, возможно.

В целом, если окажется, что нет препятствия как в начале поста, то получается странно. Возьмем допустимую функцию двух комплексных переменных над выбранной двумерной вещественной областью и сузим ее на вещественную область и потом на границу. Получится какое-то граничное значение v(t) ,
для которой ответ на основной вопрос положительный. Это означает, что есть 'хорошие' v(t). А тогда нужно посмотреть где для хороших v(t)
разрушается рассуждение в примере.

Я, вообще то вещественным анализом занимаюсь, но у меня много квалифицированных комплексных коллег (знаете шведскую школу комплексного анализа). Если нужно, могу спросить.

[zoo]

shwedka писал(а):

Я, вообще то вещественным анализом занимаюсь, но у меня много квалифицированных комплексных коллег (знаете шведскую школу комплексного анализа). Если нужно, могу спросить.

Да спросите пожалуйста.

[Brukvalub]

А почему продолжение в комплексную окрестность должно происходить по той же формуле, по которой выписывается вещественное решение в круге? И почему так называемое "стандартное" вложение R^2 в C^2 происходит одинаково в декартовых и полярных координатах? И как связан радиус сходимости ряда Тейлора гипотетического продолжения с формулой Пуассона? Слишком много в этом рассуждении натяжек и неувязок, чтобы считать его хоть сколько-нибудь доказательным, или, даже просто правильно иллюстрирующим природу явления Больше похоже на обычное "размахивание руками", которое у нас на мех-мате терпеть не могут...
Кстати,

zoo писал(а):

ни как не могу найти функцию Грина для решения задачи Дирихле в круге. Ужос.

- эта формула есть в книге Тихонов А.Н., Самарский А.А. — Уравнения математической физики на стр. 313 именно этого издания (а так - см. Гл.4, параграф 2, конец п.1).

[Gafield]

Функции $u$ и $f$ в $D$ предполагаются действительными?
А если и комплексными, то можно рассмотреть действительные, как частный случай К комплану задача имеет мало отношения, поскольку сводится к продолжению в действительную окрестность $\bar D$. Если функция гармоническая в шаре, то оценки ее производных известны, и при замене $x$ на $z$ ряд будет сходиться в некотором поликруге.

Пусть $Vf$ - объемный потенциал, взятый по окрестности $\bar D$. Тогда, если нужное продолжение существует, то разность $v=u-Vf$ должна быть гармонической функцией тоже в некоторой окрестности $\bar D$. Действительно, пусть в шаре с центром на границе $S=\partial D$ функция $v$ раскладывается в абсолютно сходящийся ряд. Рассмотрим шар, лежащий строго внутри первого, с центром в $D$, но имеющий непустое перечение с дополнением к $\bar D$. В $D$ фунция $v$ гармонична по построению, а в меньшем шаре она будет гармонической, поскольку ее разложение в ряд состоит из гармонических полиномов.

Для продолжения $v$ во внешности $D$ получается задача Коши:

$$ \Delta v=0$$

,

$$v|_S=\varphi_1$$

,

$$\partial_\nu v|_S=\varphi_2\ $$

, (*)
с двумя аналитическими функциями $\varphi_1=Vf|_S$, $\varphi_2=\partial_\nu w|_S$, где $\nu $ - нормаль к $S$, а $w$ - решение задачи Дирихле для уравнения Лапаласа в $D$ с граничной функцией $-Vf|_S$. Возможно, локальная разрешимость для $v$ вытекает из какого-нибудь варианта теоремы Коши-Ковалевской. Для круга точно получится: можно конформно отобразить круг на верхнюю поглуплоскость. В нуле степени $x^n$ в $\varphi_1$ заменяются на $\Re z^n$, в $\varphi_2$ на $\Im z^{n+1}/(n+1)$, а решение в окрестности нуля будет их суммой.

Вообще, задача (*) в некотором смысле некорректная. Для произвольных $\varphi_1$, $\varphi_2$ решения может не быть. Если $u$ принадлежит $C^1(\bar D)$ (и даже $C^\infty(\bar D)$), то, если бы решение существовало, оно было бы гармонической в окрестности границы функцией, что, неверно, если данные неаналитичны. Если же приближать их, напр., многочленами, то, вероятно, особенности будут приближаться к границе при увеличении порядка. Так что рассуждения с функцией Грина здесь вряд ли помогут, поскольку формулы должны учитывать и негладкий случай, а здесь, похоже, спасает аналитичность. Хотя все выше приведенное - это выкладки в уме Источники по комплану и теорем о разрешимости задачи Коши я не смотрел.

[zoo]

Gafield писал(а):

Функции $u$ и $f$ в $D$ предполагаются действительными?

Эти функции ставят в соответствие действительным числам –действительные, если Вы об этом.

Gafield писал(а):

К комплану задача имеет мало отношения

Как скажите

Gafield писал(а):

поскольку сводится к продолжению в действительную окрестность $\bar D$. Если функция гармоническая в шаре, то оценки ее производных известны, и при замене $x$ на $z$ ряд будет сходиться в некотором поликруге.

Это если $x$ лежит внутри шара, а если на границе, то никаких оценок нет и быть не может: гармоническая функция не обязана продолжаться как гармоническая за границу шара, даже если она гладкая в замыкании этого шара.
Пример: функция $\Re e^{-1/(1-z^2)}$ гармонична в единичном круге с центром в нуле, но не продолжается как гармоническая функция во внешность этого круга.

Gafield писал(а):

Пусть $Vf$ - объемный потенциал, взятый по окрестности $\bar D$. Тогда, если нужное продолжение существует, то разность $v=u-Vf$ должна быть гармонической функцией тоже в некоторой окрестности $\bar D$.

Если нужное продолжение существует, то обсуждать нечего.

Gafield писал(а):

Для продолжения $v$ во внешности $D$ получается задача Коши:

$$ \Delta v=0$$

,

$$v|_S=\varphi_1$$

,

$$\partial_\nu v|_S=\varphi_2\ $$

, (*)

Из сказанного следует, что в этой задаче Коши начальные условия не обязаны быть аналитическими функциями поскольку у нас нет гарантии, что производные $u$ будут аналитичными на границе. Задача Коши-Ковалевской с неаналитическими начальными данными, вообще говоря не имеет решений. О чем Вы писали ниже.

[Gafield]

Цитата:

Это если $x$ лежит внутри шара, а если на границе, то никаких оценок нет и быть не может: гармоническая функция не обязана продолжаться как гармоническая за границу шара, даже если она гладкая в замыкании этого шара.
Пример: функция $\Re e^{-1/(1-z^2)}$ гармонична в единичном круге с центром в нуле, но не продолжается как гармоническая функция во внешность этого круга.

Это понятно. Там речь шла от том, что если есть продолжение в действительную окрестность $\bar D$, то продолжить в комплексную труда не представляет.

Цитата:

Из сказанного следует, что в этой задаче Коши начальные условия не обязаны быть аналитическими функциями поскольку у нас нет гарантии, что производные $u$ будут аналитичными на границе.

Ну, $\varphi_1$ будет. Для $\varphi_2$ непонятно. Однако мне лично не очевидно, что из формулы Грина вытекает обратное.

Цитата:

а $w$ - решение задачи Дирихле для уравнения Лапаласа в $D$ с граничной функцией $-Vf|_S$.

означает, что продолжение решения для уравнения Пуассона с нулевой граничной функцией с помощью объемного потенциала сводится к такой же задаче для уравнения Лапласа с аналитической функцией на границе.

Цитата:

А при каких условиях на f и на D такое продолжение имеется?

Простым примером в круге будет условие гармоничности $f$. В этом случае $u$ будет иметь вид $v_1+r^2v_2$, где $\Delta v_i=0$. Функции $v_i$ легко выражаются через $f$ и требуемое свойство проверяетя явно. Возможно, какое-нибудь аналогичное доказательство есть и для полигармонических $f$. Если это верно и произвольную аналитическую функцию можно представить, скажем, сходящимся рядом $\sum r^{2k}v_k$ с гармоническими $v_k$, то, может, и утверждение в общем случае будет справедливо. Конечно, это все только предположения, но так сразу не очевидно, что они неверны.

[zoo]

Gafield писал(а):

Однако мне лично не очевидно, что из формулы Грина вытекает обратное.

я могу написать формальное доказательство того, что решение уравнения из моего первого поста не продолжается за границу двумерного круга, при определенных f И это доказательство основано именно на интегральном представлении с помощью функции Грина. Наверное, я на днях выложу это как олимпиадную задачу, а через некоторое время приведу решение, если это раньше никто не сделает. К сожалению, проблема, которую я ставил, действительно сложная, интереса не привлекла, а привлекли интерес тривиальные по большому счету вещи: можно ли продолжить за круг решение уравнения Пуассона?

[Gafield]

Цитата:

К сожалению, проблема, которую я ставил, действительно сложная, интереса не привлекла, а привлекли интерес тривиальные по большому счету вещи: можно ли продолжить за круг решение уравнения Пуассона?

В связи с

Gafield писал(а):

Там речь шла от том, что если есть продолжение в действительную окрестность $\bar D$, то продолжить в комплексную труда не представляет.

о чем тогда эта проблема? Это неверно?

Цитата:

я могу написать формальное доказательство того, что решение уравнения из моего первого поста не продолжается за границу двумерного круга, например, при $f=x_1$. И это доказательство основано именно на интегральном представлении с помощью функции Грина.

Функция $f=x_1$ является как раз примером из моего предыдущего поста. В единичном круге решением будет $u=((x_1^2+x_2^2)x_1-x_1)/8$. Продолжением в $\mathbb C^2$ - $((z_1^2+z_2^2)z_1-z_1)/8$.

Что я делаю не так?

[zoo]

Gafield писал(а):

Цитата:

К сожалению, проблема, которую я ставил, действительно сложная, интереса не привлекла, а привлекли интерес тривиальные по большому счету вещи: можно ли продолжить за круг решение уравнения Пуассона?

В связи с

Gafield писал(а):

Там речь шла от том, что если есть продолжение в действительную окрестность $\bar D$, то продолжить в комплексную труда не представляет.

о чем тогда эта проблема? Это неверно?

Цитата:

я могу написать формальное доказательство того, что решение уравнения из моего первого поста не продолжается за границу двумерного круга, например, при $f=x_1$. И это доказательство основано именно на интегральном представлении с помощью функции Грина.

Функция $f=x_1$ является как раз примером из моего предыдущего поста. В единичном круге решением будет $u=((x_1^2+x_2^2)x_1-x_1)/8$. Продолжением в $\mathbb C^2$ - $((z_1^2+z_2^2)z_1-z_1)/8$.

Что я делаю не так?

я исправил свой пост чуть позже, будет Вам пример с доказательством букдет, раз не очевидно

Добавлено спустя 1 час 59 минут 19 секунд:

Gafield
у меня к Вам большая просьба (глупая) выложите пожалуйста мне здесь решение задачи пуассона для единичного круга в терминах функции Грина(книг под руками нет, далеко от цивилизации):

$\Delta u =f,\quad u(\partial D)=0$
я, кажется, сдаюсь, мне казалось, что построить пример с непродолжаемостью решений это очевидная штука, оказывается это не так, теперь я вообще, не уверен, существует ли такой пример. В этой задаче непонятного оказалось уще больше, чем я думал.