Функции

и

в

предполагаются действительными?
А если и комплексными, то можно рассмотреть действительные, как частный случай

К комплану задача имеет мало отношения, поскольку сводится к продолжению в действительную окрестность

. Если функция гармоническая в шаре, то оценки ее производных известны, и при замене

на

ряд будет сходиться в некотором поликруге.
Пусть

- объемный потенциал, взятый по окрестности

. Тогда, если нужное продолжение существует, то разность

должна быть гармонической функцией тоже в некоторой окрестности

. Действительно, пусть в шаре с центром на границе

функция

раскладывается в абсолютно сходящийся ряд. Рассмотрим шар, лежащий строго внутри первого, с центром в

, но имеющий непустое перечение с дополнением к

. В

фунция

гармонична по построению, а в меньшем шаре она будет гармонической, поскольку ее разложение в ряд состоит из гармонических полиномов.
Для продолжения

во внешности

получается задача Коши:

,

,

, (*)
с двумя аналитическими функциями

,

, где

- нормаль к

, а

- решение задачи Дирихле для уравнения Лапаласа в

с граничной функцией

. Возможно, локальная разрешимость для

вытекает из какого-нибудь варианта теоремы Коши-Ковалевской. Для круга точно получится: можно конформно отобразить круг на верхнюю поглуплоскость. В нуле степени

в

заменяются на

, в

на

, а решение в окрестности нуля будет их суммой.
Вообще, задача (*) в некотором смысле некорректная. Для произвольных

,

решения может не быть. Если

принадлежит

(и даже

), то, если бы решение существовало, оно было бы гармонической в окрестности границы функцией, что, неверно, если данные неаналитичны. Если же приближать их, напр., многочленами, то, вероятно, особенности будут приближаться к границе при увеличении порядка. Так что рассуждения с функцией Грина здесь вряд ли помогут, поскольку формулы должны учитывать и негладкий случай, а здесь, похоже, спасает аналитичность. Хотя все выше приведенное - это выкладки в уме

Источники по комплану и теорем о разрешимости задачи Коши я не смотрел.