проблема со степенью

[Someone]

Mihr в сообщении #1143434 писал(а):

knizhnik, оба Ваших предположения неверные. Попробуйте воспользоваться формулой Эйлера.

Лучше формулой Муавра. С учётом

Mikhail_K в сообщении #1143447 писал(а):

Что касается $(-1)^{\sqrt{2}}$, то у этого выражения на самом деле аж бесконечно много значений.

[mihailm]

Mikhail_K в сообщении #1143447 писал(а):

mihailm в сообщении #1143446 писал(а):

Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

Если не выходить в комплексную плоскость, то да...

Если выходить, то вообще говорить не о чем, свойство банально неверное.

[knizhnik]

Цитата:

Положите $x=\pi$.

$e^{i\pi}=-1=i^{2}$
$(i^{2})^{\sqrt{2}}=(e^{i\pi})^{\sqrt{2}}$
На что это меня должно было навести?

[Mihr]

knizhnik в сообщении #1143451 писал(а):

На что это меня должно было навести?

На то, что одно из значений этого символа $\cos \pi \sqrt{2}+i \sin \pi \sqrt{2}$. Дальше можно положить $x=3\pi, 5\pi, 7\pi...$, (а также $x=-\pi, -3\pi, -5\pi, -7\pi...$) и получить бесконечное множество других значений. О чём, собственно, Вам уже сказали выше.

[Mikhail_K]

knizhnik в сообщении #1143451 писал(а):

На что это меня должно было навести?

Положим в формуле Эйлера $x=\pi+2\pi k$ с любым целым $k$: $e^{i(\pi+2\pi k)}=\cos(\pi+2\pi k)+i\sin(\pi+2\pi k)=-1$.
Теперь

$$ (-1)^{\sqrt{2}}=(e^{i(\pi+2\pi k)})^{\sqrt{2}}=e^{i(\pi\sqrt{2}+2\sqrt{2}\pi k)}=\cos(\pi\sqrt{2}+2\sqrt{2}\pi k) +i\sin(\pi\sqrt{2}+2\sqrt{2}\pi k). $$

(В случае экспоненты перемножать показатели всё-таки можно.) Мы получили бесконечно много разных значений для $(-1)^{\sqrt{2}}$ - по одному значению для каждого целого $k$.

[arseniiv]

Судя по теме, ТС банально не знает основ комплексных чисел. Почему бы не подождать с ответами, пока всё не образуется?

[Mikhail_K]

Небольшой комментарий про экспоненту. Как было сказано, возведение в степень (в комплексном смысле) - операция многозначная, а в случае иррациональных показателей бесконечнозначная. Даже если возводить в степень обычные положительные числа. Например, по аналогии со сказанным выше можно написать

$$ 1^{\sqrt{2}}=(e^{i(2\pi k)})^{\sqrt{2}}=e^{i(2\sqrt{2}\pi k)}=\cos(2\sqrt{2}\pi k) +i\sin(2\sqrt{2}\pi k). $$

При $k=0$ получаем значение $1$, но при других $k$ будем получать комплексные числа, опять в бесконечном количестве.

То есть комплексная степень - это немного не то же самое, что вещественная степень. Если возводить $1$ в степень $\sqrt{2}$ в вещественном смысле, то получится, разумеется, единственный ответ - единица. Но в вещественном смысле не получится возводить отрицательные числа в дробные (и тем более иррациональные) степени.

Но вот комплексная экспонента - $e^z$ - это опять немного не то, что возведение $e$ в степень $z$. Даже если $z$ - комплексное число, экспонента $e^z$ определена однозначно. При этом, возведение $e$ в степень $z$ в комплексном смысле может быть уже многозначным, и даже бесконечнозначным, и одним из этих значений будет значение экспоненты.

В комплексном анализе вначале вводится экспонента (однозначная функция), а потом уже с её помощью определяется комплексное возведение в степень. Именно из-за того что это немного разные вещи, в случае экспоненты можно перемножать показатели, а в случае комплексной степени нельзя.

-- 11.08.2016, 23:01 --

arseniiv в сообщении #1143456 писал(а):

Судя по теме, ТС банально не знает основ комплексных чисел. Почему бы не подождать с ответами, пока всё не образуется?

Ну, ТС как раз и спрашивал, что ему читать по комплексному анализу. А эти ответы ему - для возбуждения интереса)
Какие книжки читать о всяких таких вещах - см. здесь: topic50271.html
Правда, не очень понятен вообще уровень ТС.

[knizhnik]

Цитата:

В комплексном анализе вначале вводится экспонента (однозначная функция), а потом уже с её помощью определяется комплексное возведение в степень. Именно из-за того что это немного разные вещи, в случае экспоненты можно перемножать показатели, а в случае комплексной степени нельзя.

Как именно однозначность влияет на показатели? Почему формула $(z_1^{z_2})^{z_3}=z_1^{z_2 z_3}$ объявлена неверной, а формула $(e^{z_1})^{z_2}=e^{z_1 z_2}$ верной?

[Lia]

knizhnik
А что такое однозначность? Вы то формулы Муавра не знаете, то в дебри теории пытаетесь залезть. Уж определитесь, с какого конца Вы предпочитаете начинать.

[knizhnik]

Я стараюсь понять хотя бы то, что написано. Формулы Муавра мне не написали, к сожалению.

[Lia]

Образование какое? в связи с чем интересуетесь?

[knizhnik]

Школьное. Про степени понять.

[Lia]

Школьное разное бывает. Сколько классов или законченное школьное. Что хотите понять про степени. Зачем понадобились комплексные числа - по существу понадобились или Вы просто когда-то слышали про $i$. Рассказывайте, с чего все началось и как Вы тут оказались.

[knizhnik]

Школу закончил. Все началось с вопроса $(-1)^{\sqrt{2}}=?$
Получается, что возведение в степень выходит за рамки вещественных чисел и нужны комплексные. Насколько я понимаю, понадобятся они в связи с этим вопросом, хотя я и рассчитывал обойтись без них.
Слышал, что $i=\sqrt{-1}$, что квадратное уравнение всегда имеет решения.

[Mihr]

knizhnik в сообщении #1143496 писал(а):

Получается, что возведение в степень выходит за рамки вещественных чисел и нужны комплексные.

Вроде, это не так уж неожиданно, если учесть Ваше утверждение

knizhnik в сообщении #1143496 писал(а):

Слышал, что $i=\sqrt{-1}$

и вспомнить, что извлечение квадратного корня - это и есть возведение в степень $\frac{1}{2}$.