Изоморфизм действий группы.

[Duelist]

Пусть группа $G$ действует на мн-ве $X$, $x \in X$, $g \in G$, тогда $G_{gx} = gG_xg^{-1}$. Далее у Винберга написано:

"Так как в теореме 1 в качестве точки $x$ можно взять любую точку орбиты, то отсюда следует, что для любой подгруппы $H \subset G$ и любого $g \in G$ действия группы $G$ на $G/H$ и на $G/gHg^{-1}$ изоморфны." «Курс Алгебры», глава 10, §3.

«Теорема 1» утверждает, что отображение $f: G/G_x \rightarrow Gx$, $gG_x \rightarrow gx$ является изоморфизмом действий. Имеется в виду изоморфизм между действием на орбите $x$ - значит индуцированным действием на некотором мн-ве $X \ni x$, и действием на мн-ве смежных классов по стабилизатору $x$.
Я понимаю, как процитированное утверждение следует из «теоремы 1» и утверждения приведённого в начале поста, когда $H$ - стабилизатор для $x \in X$, где $X$ - некоторое мн-во, на котором действует $G$. Нужно доказывать, что всякая подгруппа $G$ является стабилизатором некоторого эл-та для какого-то действия $G$?

[Slav-27]

Duelist в сообщении #1143276 писал(а):

Нужно доказывать, что всякая подгруппа $G$ является стабилизатором некоторого эл-та для какого-то действия $G$?

Ну можно и так.

На самом деле это самое "какое-то действие $G$" в вашем посте упоминается явно (вы, наверно, это заметите, когда попробуете такое действие придумать).

[Duelist]

Заметил, что если $G$ действует на $G/H$, то $H$ - стабилизатор для $H$. Спасибо.